Varianza y desvío estándar

1 · Definición

La varianza es, casi, el promedio de los desvíos respecto de la media, elevados al cuadrado: en una muestra se divide por $n-1$ y no por $n$ (ver por qué). El desvío estándar es su raíz cuadrada.

$$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$$ $$s = \sqrt{s^2}$$

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La notación distingue de dónde sale cada uno, como en todo el resto del sitio:

	Población	Muestra
Varianza	$\sigma^2$	$s^2$
Desvío estándar	$\sigma$	$s$
Divisor	$N$	$n-1$

2 · Para qué sirven

Una medida de posición sola no describe nada. Dos grupos pueden tener el mismo ingreso medio y realidades completamente distintas: en uno todos ganan parecido, en el otro hay pobreza y riqueza.

El desvío estándar cuantifica esa diferencia. Y además es la base de casi toda la Estadística posterior: el puntaje z, el error estándar, los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis están todos construidos sobre él.

3 · Por qué el cuadrado, y por qué después la raíz

Sin el cuadrado la cuenta daría siempre cero. Es una propiedad de la media:

$$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0$$

Los apartamientos hacia arriba compensan exactamente a los de abajo. Hay dos formas de evitar esa compensación: tomar el valor absoluto —lo que da el desvío medio— o elevar al cuadrado.

Se elige el cuadrado por dos razones: es derivable, lo que permite trabajar algebraicamente con él, y penaliza más los apartamientos grandes, lo que resulta deseable en muchos contextos. El costo es que exagera el efecto de los valores extremos.

Y la raíz, por las unidades. Si la variable está en pesos, la varianza está en pesos al cuadrado, que no significa nada. La raíz devuelve la medida a la escala original y la vuelve interpretable. La varianza aparece igual en todas las fórmulas —es la que tiene las propiedades matemáticas útiles— pero en un informe va el desvío estándar.

4 · El procedimiento

Paso 1. Calculá la media. Paso 2. Restá la media a cada valor: esos son los desvíos. Paso 3. Elevá cada desvío al cuadrado. Paso 4. Sumalos. Paso 5. Dividí por $n-1$ (ver por qué). Paso 6. Sacá la raíz cuadrada.

5 · Las propiedades que la hacen útil

Tres reglas simples explican por qué la Estadística eligió la varianza y no otra medida de dispersión:

Si…	Entonces	En palabras
$y = x + c$	$s_y^2 = s_x^2$	Sumar una constante no cambia la dispersión
$y = c \cdot x$	$s_y^2 = c^2 s_x^2$	Cambiar de unidad la escala al cuadrado
$x$ e $y$ no correlacionadas	$s^2_{x+y} = s_x^2 + s_y^2$	Las varianzas se suman

La primera dice que la dispersión mide separación y no ubicación. La segunda, que al pasar de pesos a miles de pesos el desvío se divide por mil pero la varianza por un millón — de ahí que el desvío sea el que se informa.

6 · Un ejemplo

Dos variables de la EPH del primer trimestre de 2026:

	Ingreso	Edad
Media	$1.104.227	41,0 años
Desvío estándar	$1.063.114	12,9 años
Coeficiente de variación	96,3 %	31,4 %

El ingreso es el de los ocupados que lo declararon y la edad, la de los ocupados de 15 a 74 años. Las dos, con ponderadores.

El desvío del ingreso es casi igual a su media: la dispersión es enorme. El de la edad es menos de un tercio de la media: los ocupados son mucho más parecidos entre sí en edad que en ingreso.

Esa comparación no se puede hacer directamente con los desvíos —uno está en pesos y el otro en años—: hace falta el coeficiente de variación, que los vuelve comparables.

7 · Cómo se informa

$$\bar{x} \pm s$$

La edad media fue de 41,0 años (DE = 12,9).

Se usa “DE” o “SD”, y siempre entre paréntesis después de la media. Escribir “41,0 ± 12,9” también es correcto, pero tiene un riesgo: se confunde con un intervalo de confianza, que es otra cosa. Conviene aclarar qué es lo que sigue al signo.

Y si los datos vienen de una encuesta con diseño muestral, el desvío se calcula con los ponderadores, igual que la media: el desvío sin pesos describe a la muestra y no a la población.

8 · Errores frecuentes

• Confundir desvío estándar con error estándar. El desvío describe la dispersión de los datos; el error estándar, la de la media muestral. El segundo es mucho más chico y se achica al crecer $n$. Es la confusión más frecuente de toda la materia.
• Informar la varianza. Está en unidades al cuadrado. Va el desvío.
• Informar “media ± desvío” en distribuciones muy asimétricas. Sugiere un rango simétrico que no existe.
• Comparar desvíos de variables en distintas unidades. Para eso está el coeficiente de variación.
• Calcularlo sobre una variable nominal. No hay distancias que promediar; la dispersión de una cualitativa se mide de otra manera.
• Promediar las varianzas de varios grupos. Falta la parte que aportan las diferencias entre los promedios de cada grupo.
• Usar la fórmula con $n$ cuando corresponde $n-1$. Excel tiene funciones separadas y elegir mal la función es un error silencioso.
• Usar la fórmula abreviada con números grandes. Da resultados sin cifras significativas, y a veces varianzas negativas.
• Olvidar que no es robusto. Un solo valor extremo lo infla mucho. Si el desvío parece desproporcionado, revisá los extremos antes de interpretarlo.

9 · En el software

# R — usa n−1 siempre
sd(datos$edad)
var(datos$edad)

# Con ponderadores. as.numeric(): con columnas enteras, el producto
# peso × ingreso se pasa del máximo entero de R y wtd.var() devuelve NA
sqrt(Hmisc::wtd.var(as.numeric(datos$ingreso), datos$ponderador))

# Python — ojo con el grado de libertad
import numpy as np
datos["edad"].std()            # pandas usa n−1 por defecto
np.std(datos["edad"])          # NumPy usa n por defecto
np.std(datos["edad"], ddof=1)  # para que coincida con pandas y R

# Con ponderadores
x, w = datos["ingreso"], datos["ponderador"]
m = np.average(x, weights=w)
np.sqrt(np.average((x - m)**2, weights=w))
# Ojo: np.cov(x, aweights=w) normaliza distinto y da otro número

Excel:    =DESVEST.M(rango)   muestra, n−1   ← la que casi siempre va
          =DESVEST.P(rango)   población, n
          =VAR.S / =VAR.P     lo mismo para la varianza (ojo: VAR.S,
                              no VAR.M, aunque el desvío sea DESVEST.M)
SPSS:     Analizar › Estadísticos descriptivos › Descriptivos › Opciones
          › Desviación estándar  (usa n−1)

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