Cálculos con datos agrupados

1 · Definición

Los datos agrupados son los que solo están disponibles como tabla de frecuencias por intervalos, sin los valores individuales.

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2 · Cuándo hace falta

Cada vez menos, pero todavía pasa:

• Cuando la fuente publica una tabla y no la base. Muchos anuarios estadísticos e informes antiguos son así.
• Cuando se trabaja con datos históricos de los que solo sobrevivió el tabulado.
• En un ejercicio de examen, donde el objetivo es entender el mecanismo.

Fuera de esos casos, agrupar para después calcular es tirar precisión sin ganar nada.

3 · El supuesto que hace todo posible

Todos los métodos de esta entrada descansan en una sola suposición:

Ese supuesto es razonable cuando los intervalos son angostos y la distribución no cambia bruscamente dentro de ellos. Es malo cuando los intervalos son muy anchos o cuando hay mucha concentración en un extremo del intervalo — que es lo que pasa con el último intervalo de una distribución de ingresos.

4 · Las medidas, una por una

La media. Se trata cada intervalo como si todos sus casos valieran la marca de clase, y se promedia ponderando por la frecuencia:

$$\bar{x} \approx \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i \, n_i}{n}$$

donde $x_i$ es la marca de clase del intervalo $i$ y $n_i$ su frecuencia. Es exactamente una media ponderada.

La mediana. Se ubica el intervalo donde la frecuencia acumulada cruza el 50 % —el intervalo mediano— y se interpola dentro de él:

$$\tilde{x} \approx L_i + \frac{\frac{n}{2} - N_{i-1}}{n_i} \cdot a_i$$

donde $L_i$ es el límite inferior del intervalo mediano, $N_{i-1}$ la acumulada hasta el intervalo anterior, $n_i$ la frecuencia del intervalo mediano y $a_i$ su amplitud. Se lee así: arrancá en el borde del intervalo y avanzá la fracción que falta para llegar a la mitad de los casos.

Cualquier otro cuantil. Es la misma fórmula cambiando la mitad por la proporción que se busque. Para el cuantil de orden $p$:

$$Q_p \approx L_i + \frac{p \cdot n - N_{i-1}}{n_i} \cdot a_i$$

con $p = 0{,}25$ para el primer cuartil, $0{,}75$ para el tercero, $0{,}90$ para el percentil 90. El intervalo $i$ es siempre el primero cuya acumulada alcanza o supera $p \cdot n$. Ver cuantiles.

El modo. La clase modal es la de mayor frecuencia, y dentro de ella el modo se ubica corriéndose hacia la clase vecina más poblada:

$$\mathrm{Mo} \approx L_i + \frac{d_1}{d_1 + d_2} \cdot a_i$$

donde $d_1$ es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la de la anterior, y $d_2$, la diferencia con la siguiente. Si las dos vecinas tienen la misma frecuencia, el modo cae justo en el centro; si una pesa más, el modo se corre hacia ese lado.

La varianza y el desvío. Mismo principio, usando las marcas de clase:

$$s^2 \approx \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 \, n_i}{n-1}$$

Es el cálculo que peor se porta de los cuatro, porque la dispersión dentro de cada intervalo desaparece: todos los casos de una clase pasan a valer lo mismo.

El $n-1$ vale cuando las frecuencias son casos de una muestra. Si la tabla viene de una encuesta expandida —frecuencias en miles de personas, como la del ejemplo que sigue—, restar 1 no tiene sentido y se divide por el total $N$.

5 · Un ejemplo completo

Con la edad de los ocupados de la EPH agrupada en tramos de diez años:

Intervalo	$x_i$	$n_i$ (miles)	$N_i$ (miles)
[15, 25)	20	1.368	1.368
[25, 35)	30	3.280	4.648
[35, 45)	40	3.434	8.082
[45, 55)	50	3.019	11.101
[55, 65)	60	1.734	12.835
[65, 75)	70	524	13.359

Media. Ponderando las marcas de clase por las frecuencias: 41,5 años.

Mediana. La mitad de 13.359 es 6.680, que cae en el intervalo [35, 45):

$$\tilde{x} \approx 35 + \frac{6.680 - 4.648}{3.434} \cdot 10 = 40{,}9$$

Cuartiles. Con la misma fórmula, $Q_1 = 31{,}0$ y $Q_3 = 51{,}4$ años, así que la mitad central de los ocupados tiene entre 31 y 51 años.

Modo. La clase modal es [35, 45), con 3.434. Las diferencias con sus vecinas son $d_1 = 3.434 - 3.280 = 154$ y $d_2 = 3.434 - 3.019 = 415$:

$$\mathrm{Mo} \approx 35 + \frac{154}{569} \cdot 10 = 37{,}7$$

Se corrió hacia abajo respecto del centro de la clase, porque la clase de la izquierda está casi tan poblada como la modal y la de la derecha bastante menos.

Desvío. Con las marcas de clase da 13,2 años; aplicándole la corrección de Sheppard, 12,8.

Los valores exactos, calculados sobre los datos sin agrupar, son 41,0 años de media, 40,0 de mediana y 12,9 de desvío. A primera vista, las aproximaciones se van para arriba: medio año la media, casi un año la mediana. Pero la mayor parte de esa diferencia no es culpa del agrupamiento.

Rehaciendo las cuentas con los límites reales:

	Límites 15, 25…	Límites reales 14,5, 24,5…	Exacto
Media	41,5	41,0	41,0
Mediana	40,9	40,4	40,0
Desvío	13,2	13,2	12,9

Con los límites bien puestos, la media agrupada coincide con la exacta: ese medio año era de la marca de clase, no del agrupamiento. Lo que sí pierde la tabla es lo que pasa adentro de cada tramo. A la mediana le quedan cuatro décimas de error, porque en [35, 45) hay algo más de casos en la primera mitad que en la segunda y el supuesto de uniformidad los corre hacia arriba. El desvío queda inflado en unas tres décimas, que es lo que la corrección de Sheppard viene a sacar. Con intervalos más anchos, esos errores crecen: es el precio de haber perdido los datos originales.

6 · El problema del intervalo abierto

“65 y más” no tiene límite superior, así que no tiene marca de clase, y sin marca de clase no hay media ni desvío. Es el caso más común en las tablas publicadas —los ingresos y las edades casi siempre cierran así— y hay tres salidas:

Qué hacer	Cuándo conviene	Qué hay que declarar
Darle la misma amplitud que la clase anterior	Colas cortas, como la edad	El supuesto y el valor asignado
Estimar la cola con un modelo	Ingresos, riqueza, tamaños de empresa	Qué modelo y con qué parámetros
No calcular la media	Cuando la cola pesa mucho	Que se informa la mediana en su lugar

La tercera es más honesta de lo que parece. La mediana y los cuantiles se pueden calcular igual aunque el último intervalo esté abierto, siempre que el corte buscado caiga antes: para la mediana solo hace falta que el 50 % se alcance en una clase cerrada. Por eso, con tablas de ingreso publicadas, informar la mediana casi nunca requiere supuestos y informar la media casi siempre sí.

7 · Errores frecuentes

• Calcular con datos agrupados teniendo los originales. Es el error de concepto: se pierde precisión a cambio de nada.
• Presentar el resultado como exacto. Siempre lleva “aproximadamente”.
• Olvidar los límites reales con variables enteras. Si la edad va en años cumplidos, el tramo [15, 25) termina en 24 y su marca es 19,5. Usar 20 corre la media medio año, y ese error se confunde con el del agrupamiento.
• Usar el límite inferior en vez de la marca de clase. Subestima la media de manera sistemática.
• Intentarlo con un intervalo abierto. “65 y más” no tiene marca de clase. O se le asigna un valor razonable y se declara, o no se puede calcular la media.
• Interpolar la mediana con la marca de clase. La fórmula arranca en el límite inferior del intervalo mediano, no en su centro.
• Confundir la clase modal con el modo. La clase modal es un intervalo; el modo es un valor que se ubica adentro de ella y casi nunca coincide con su centro.
• Olvidar que el supuesto de uniformidad falla en las colas. En una distribución asimétrica, el último intervalo casi nunca tiene sus casos repartidos de manera uniforme.
• Comparar un promedio agrupado con uno sin agrupar. Si dos fuentes usan distinto agrupamiento, parte de la diferencia entre sus medias es del método y no del fenómeno.

8 · En el software

# R — a partir de los límites reales y las frecuencias.
# Edad en años cumplidos: el tramo de 15 a 24 va de 14,5 a 24,5
lim    <- seq(14.5, 74.5, 10)
marcas <- head(lim, -1) + 5                  # 19,5, 29,5, ...
frec   <- c(1368, 3280, 3434, 3019, 1734, 524)

media  <- weighted.mean(marcas, frec)        # 41,0
# Frecuencias expandidas (miles de personas): se divide por N, no por n − 1
desvio <- sqrt(sum(frec * (marcas - media)^2) / sum(frec))   # 13,2

# Cuantiles interpolados: reconstruir la acumulada y buscar el cruce
acum <- cumsum(frec)
p    <- 0.5
i    <- which(acum >= p * sum(frec))[1]
lim[i] + (p * sum(frec) - c(0, acum)[i]) / frec[i] * diff(lim)[i]   # 40,4

# Python — mismos límites reales
import numpy as np
lim    = np.arange(14.5, 84.5, 10)
marcas = lim[:-1] + 5
frec   = np.array([1368, 3280, 3434, 3019, 1734, 524])

media  = np.average(marcas, weights=frec)                          # divide por N
desvio = np.sqrt(np.average((marcas - media)**2, weights=frec))

# Cuantil interpolado
acum, p = frec.cumsum(), 0.5
i = np.searchsorted(acum, p * frec.sum())
lim[i] + (p * frec.sum() - np.r_[0, acum][i]) / frec[i] * 10

Excel:    =SUMAPRODUCTO(marcas; frecuencias) / SUMA(frecuencias)
          Para la mediana, agregar una columna con la acumulada
          ANTERIOR (N_i−1: 0 en la primera fila) y buscar con
          BUSCARV(n/2; esa columna; ...; VERDADERO). Buscando sobre
          la acumulada común, la coincidencia aproximada devuelve
          la fila de antes del intervalo mediano

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