Notación y símbolos: la sumatoria

1 · Definición

La sumatoria es el símbolo $\sum$ que indica sumar una serie de valores. Es la notación más usada de toda la estadística: casi ninguna fórmula prescinde de ella.

2 · Para qué sirve

Una fórmula estadística es una receta. Si los símbolos no se leen, la receta no se puede seguir ni verificar, y se termina copiando resultados del software sin poder controlarlos.

Con media docena de convenciones alcanza para leer el 90 % de las fórmulas de la materia.

3 · Cómo se lee una sumatoria

Cada valor de una variable se identifica con un subíndice: $x_1$ es el primer caso, $x_2$ el segundo, $x_i$ uno cualquiera. Entonces:

$$\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \cdots + x_n$$

Se lee: “sumatoria, desde $i$ igual a 1 hasta $n$, de equis sub i”. Las tres partes son:

• Debajo, dónde arranca el contador: $i = 1$.
• Arriba, dónde termina: $n$.
• A la derecha, qué se suma en cada paso: $x_i$.

Cuando queda claro por contexto que se suman todos los casos, se abrevia $\sum x_i$ o directamente $\sum x$. Es la misma cosa.

4 · Un ejemplo

Con los valores 4, 7, 2 y 9:

$$\sum_{i=1}^{4} x_i = 4 + 7 + 2 + 9 = 22$$ $$\sum_{i=1}^{4} x_i^2 = 16 + 49 + 4 + 81 = 150$$ $$\left( \sum_{i=1}^{4} x_i \right)^{2} = 22^2 = 484$$

Las dos últimas no son lo mismo, y la diferencia entre 150 y 484 aparece en la fórmula de la varianza. Es el error de lectura más caro de este tema.

Con esto, la media aritmética ya se puede leer entera:

$$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$

“Sumá todos los valores y dividí por cuántos son”.

5 · La notación de este sitio

Todas las entradas usan los mismos símbolos. La tabla completa:

Símbolo	Qué es
$x_i$	El valor de la variable en el caso $i$
$n$	Tamaño de la muestra
$N$	Tamaño de la población
$\bar{x}$	Media de la muestra
$\mu$	Media de la población
$s$	Desvío estándar de la muestra
$\sigma$	Desvío estándar de la población
$\hat{p}$	Proporción observada en la muestra
$\pi$	Proporción en la población
$n_i$	Frecuencia absoluta de la categoría $i$
$f_i$	Frecuencia relativa
$k$	Cantidad de categorías o de clases
$\alpha$	Nivel de significación

La regla general: población en griego, muestra en latino, como se explica en parámetro y estadístico. El sombrerito ($\hat{\ }$) indica “estimado a partir de la muestra”.

6 · Errores frecuentes

• Confundir $\sum x_i^2$ con $(\sum x_i)^2$. En el primero se eleva al cuadrado cada valor y después se suma; en el segundo se suma todo y después se eleva. Dan resultados muy distintos y los dos aparecen en la misma fórmula.
• Leer el subíndice como una potencia. $x_2$ es el segundo caso; $x^2$ es equis al cuadrado. La diferencia es de posición, no de tamaño.
• Creer que $i$ significa algo. Es solo el nombre del contador. Se podría llamar $j$ o $k$ y la fórmula sería idéntica.
• Perderse por la falta de límites. Ver $\sum x$ sin números arriba y abajo no es un error de imprenta: es la abreviatura de “todos los casos”.
• Mezclar notación entre capítulos. Si empezaste un informe con $\bar{x}$, no cambies a $\bar{X}$ o a $m$ en la página siguiente. La consistencia de notación es parte de la claridad.

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