Notación y símbolos: la sumatoria

1 · Definición

La sumatoria es el símbolo $\sum$ que indica sumar una serie de valores. Es la notación más usada de toda la Estadística: casi ninguna fórmula prescinde de ella.

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2 · Para qué sirve

Una fórmula estadística es una receta. Si los símbolos no se leen, la receta no se puede seguir ni verificar, y se termina copiando resultados del software sin poder controlarlos.

Con media docena de convenciones alcanza para leer la mayoría de las fórmulas de la materia.

3 · Cómo se lee una sumatoria

Cada valor de una variable se identifica con un subíndice: $x_1$ es el primer caso, $x_2$ el segundo, $x_i$ uno cualquiera. Entonces:

$$\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \cdots + x_n$$

Se lee: “sumatoria, desde $i$ igual a 1 hasta $n$, de equis sub i”. Las tres partes son:

• Debajo, dónde arranca el contador: $i = 1$.
• Arriba, dónde termina: $n$.
• A la derecha, qué se suma en cada paso: $x_i$.

Cuando queda claro por contexto que se suman todos los casos, se abrevia $\sum x_i$ o directamente $\sum x$. Es la misma cosa.

4 · Un ejemplo

Con los valores 4, 7, 2 y 9:

$$\sum_{i=1}^{4} x_i = 4 + 7 + 2 + 9 = 22$$ $$\sum_{i=1}^{4} x_i^2 = 16 + 49 + 4 + 81 = 150$$ $$\left( \sum_{i=1}^{4} x_i \right)^{2} = 22^2 = 484$$

Las dos últimas no son lo mismo, y las dos aparecen juntas en la fórmula de cálculo de la varianza:

$$s^2 = \frac{\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2 / n}{n - 1} = \frac{150 - 484/4}{3} = \frac{150 - 121}{3} \approx 9{,}67$$

Quien lee una por la otra obtiene $(484 - 150/4)/3 \approx 148{,}8$: unas quince veces más que la varianza real. Es el error de lectura más caro de este tema.

Con esto, la media aritmética ya se puede leer entera:

$$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$

“Sumá todos los valores y dividí por cuántos son”.

Y así se escribe lo mismo donde se calcula de verdad:

	Suma	Suma de cuadrados	Media
Excel	=SUMA(A1:A4)	=SUMA.CUADRADOS(A1:A4)	=PROMEDIO(A1:A4)
R	sum(x)	sum(x^2)	mean(x)
Python	x.sum()	(x**2).sum()	x.mean()

En R y en Python el cuadrado se aplica a la columna entera antes de sumar: ahí se ve, escrita, la diferencia entre $\sum x_i^2$ y $\left(\sum x_i\right)^2$. En Python, x tiene que ser un arreglo de NumPy o una columna de pandas: con una lista común, x.sum() y x**2 dan error.

5 · Tres propiedades que se usan todo el tiempo

No hacen falta para leer una fórmula, pero sí para entender de dónde salen las que vienen después. Son tres y se justifican solas:

De esas tres sale un resultado que conviene tener a mano:

$$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0$$

La suma de los desvíos respecto de la media siempre da cero, con cualquier conjunto de datos. La cuenta usa la tercera propiedad y después la primera, porque $\bar{x}$ es una constante:

$$\sum (x_i - \bar{x}) = \sum x_i - n\,\bar{x} = n\,\bar{x} - n\,\bar{x} = 0$$

El segundo paso sale de la fórmula de la media: si $\bar{x} = \sum x_i / n$, entonces $\sum x_i = n\,\bar{x}$. Es la razón por la que la varianza eleva los desvíos al cuadrado: si no, la dispersión mediría cero siempre.

6 · Cuando hay dos índices

En cuanto aparece una tabla de doble entrada, los datos dejan de ser una columna y pasan a tener fila y columna. El valor se nombra $x_{ij}$: el de la fila $i$, columna $j$. Y aparece la doble sumatoria, que no tiene ningún misterio:

$$\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} x_{ij}$$

Se lee de adentro hacia afuera: para cada fila se suma toda la fila, y después se suman esos totales. Es el total general.

Lo que sí se explica poco es el punto, que es la convención que vuelve legibles las fórmulas del ANOVA y de las tablas de contingencia: un punto en el lugar de un índice significa “sumado sobre ese índice”.

	$j=1$	$j=2$	$j=3$	$x_{i\cdot}$
$i=1$	4	7	2	13
$i=2$	9	5	6	20
$x_{\cdot j}$	13	12	8	33

• $x_{1\cdot} = 13$ es el total de la primera fila: se sumó sobre las columnas.
• $x_{\cdot 2} = 12$ es el total de la segunda columna.
• $x_{\cdot\cdot} = 33$ es el total general, sumado sobre todo.
• Con barra encima es la media en vez del total: $\bar{x}_{1\cdot} = 13/3$ es la media de la primera fila, y $\bar{x}_{\cdot\cdot}$ es la media general.

En las tablas de contingencia la letra cambia, pero el punto funciona igual. Las frecuencias observadas se anotan $O_{ij}$, y la frecuencia esperada de la prueba chi-cuadrado, que el sitio escribe como “total de la fila por total de la columna sobre $n$”, es en esta notación:

$$E_{ij} = \frac{O_{i\cdot}\; O_{\cdot j}}{O_{\cdot\cdot}}$$

7 · La notación de este sitio

Todas las entradas usan los mismos símbolos. La tabla completa:

Símbolo	Qué es
$X$	Una variable aleatoria, antes de observarla
$x_i$	El valor de la variable en el caso $i$
$n$	Tamaño de la muestra
$N$	Tamaño de la población
$\bar{x}$	Media de la muestra
$\bar{X}$	La media muestral vista como variable aleatoria
$\mu$	Media de la población
$s$, $s^2$	Desvío estándar y varianza de la muestra
$\sigma$, $\sigma^2$	Desvío estándar y varianza de la población
$r$	Correlación en la muestra
$\rho$	Correlación en la población
$\hat{p}$	Proporción observada en la muestra
$\pi$ o $p$	Proporción en la población
$p_0$	El valor de la proporción que afirma la hipótesis nula
$n_i$	Frecuencia absoluta de la categoría $i$
$f_i$	Frecuencia relativa
$k$	Cantidad de categorías o de clases
$P(A)$	Probabilidad del suceso $A$
$\alpha$	Nivel de significación
$\varepsilon$	El error aleatorio de un modelo de regresión
$\theta$	Un parámetro cualquiera, sin especificar cuál
$\hat{\theta}$	Su estimador, calculado con la muestra
$E(X)$	Esperanza: el valor medio teórico de una variable aleatoria
$\sim$	“Se distribuye como”: $X \sim N(\mu, \sigma)$

La regla general: población en griego, muestra en latino, como se explica en parámetro y estadístico. El sombrero ($\hat{\ }$) indica “estimado a partir de la muestra”.

La regla tiene una excepción conocida: la proporción. Hay libros que la escriben $\pi$ en la población y otros que usan $p$, para no confundirla con el 3,14. En las pruebas de hipótesis este sitio usa la segunda: $H_0: p = p_0$.

Hay una segunda regla, sobre las mayúsculas. Una mayúscula ($X$) nombra a una variable aleatoria: algo que todavía no se observó y puede tomar distintos valores. Una minúscula ($x$) es un valor ya observado. Por eso $\bar{x} = 1.104.227$ es el resultado de una muestra concreta, mientras que $\bar{X}$ es la media muestral como cantidad que cambia de una muestra a otra, la que tiene distribución, esperanza y error estándar.

Y como las letras griegas se leen en voz alta en cualquier clase y en cualquier defensa, conviene saber cómo se llaman:

8 · Errores frecuentes

• Confundir $\sum x_i^2$ con $(\sum x_i)^2$. En el primero se eleva al cuadrado cada valor y después se suma; en el segundo se suma todo y después se eleva. Dan resultados muy distintos y los dos aparecen en la misma fórmula.
• Leer el subíndice como una potencia. $x_2$ es el segundo caso; $x^2$ es equis al cuadrado. La diferencia es de posición, no de tamaño.
• Creer que $i$ significa algo. Es solo el nombre del contador. Se podría llamar $j$ o $k$ y la fórmula sería idéntica.
• Perderse por la falta de límites. Ver $\sum x$ sin números arriba y abajo no es un error de imprenta: es la abreviatura de “todos los casos”.
• Saltear el punto de los subíndices. Leer $\bar{x}_{i\cdot}$ como si fuera $\bar{x}$ a secas hace que las fórmulas del ANOVA parezcan arbitrarias. El punto dice sobre qué se sumó, y es la mitad del significado.
• Sacar de la sumatoria algo que depende del índice. La constante sale afuera; $x_i$ no. Es el error de álgebra más común al desarrollar una fórmula.
• Mezclar notación entre capítulos. Si empezaste un informe con $\bar{x}$, no cambies a $m$ o a $\overline{X}_n$ en la página siguiente para lo mismo. La consistencia de notación es parte de la claridad.
• Tratar la mayúscula y la minúscula como sinónimos. $\bar{x}$ es el promedio de los datos que tenés; $\bar{X}$ es la media muestral como variable aleatoria. Escribir $E(\bar{x})$ o “la distribución de $\bar{x} = 22$” mezcla las dos cosas.

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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