Descomposición de la variabilidad

1 · La identidad

Toda la variabilidad de los datos se parte, sin pérdida ni resto, en dos:

$$\underbrace{\sum_{i}\sum_{j} (y_{ij} - \bar{y})^2}_{SC_{\text{total}}} = \underbrace{\sum_{i} n_i (\bar{y}_i - \bar{y})^2}_{SC_{\text{entre}}} + \underbrace{\sum_{i}\sum_{j} (y_{ij} - \bar{y}_i)^2}_{SC_{\text{dentro}}}$$

2 · Qué es cada parte

Suma de cuadrados	Mide	También se llama
Total	apartamiento de cada dato respecto de la media general	$SC_T$
Entre grupos	apartamiento de cada media de grupo respecto de la general	explicada, del factor, between
Dentro de los grupos	apartamiento de cada dato respecto de la media de su grupo	residual, del error, within

La idea intuitiva: cada dato se aparta de la media general por dos razones, por estar en el grupo que está y por ser el individuo que es. La identidad separa las dos contribuciones.

3 · Los grados de libertad también se descomponen

$$\underbrace{N-1}_{\text{total}} = \underbrace{k-1}_{\text{entre}} + \underbrace{N-k}_{\text{dentro}}$$

Es la segunda mitad de la descomposición y sirve de control: si en una tabla ANOVA los grados de libertad no suman, hay un error.

4 · De sumas a cuadrados medios

Las sumas de cuadrados no son comparables entre sí porque se calculan sobre cantidades distintas de términos. Dividiendo cada una por sus grados de libertad se obtienen varianzas:

$$CM_{\text{entre}} = \frac{SC_{\text{entre}}}{k-1} \qquad CM_{\text{dentro}} = \frac{SC_{\text{dentro}}}{N-k}$$ $$F = \frac{CM_{\text{entre}}}{CM_{\text{dentro}}}$$

5 · El ejemplo

Fuente	Suma de cuadrados	gl	Cuadrado medio
Entre grupos	$1{,}0522 \times 10^{15}$	5	$2{,}1043 \times 10^{14}$
Dentro	$1{,}4479 \times 10^{16}$	15.359	$9{,}4268 \times 10^{11}$
Total	$1{,}5531 \times 10^{16}$	15.364

Verificación: $1{,}0522 + 14{,}479 = 15{,}531$ (en unidades de $10^{15}$), y $5 + 15.359 = 15.364$. Las dos descomposiciones cierran.

La suma de cuadrados dentro es catorce veces la de entre: la mayor parte de la variabilidad del ingreso ocurre adentro de cada nivel educativo, no entre niveles.

6 · De acá sale el tamaño del efecto

$$\eta^2 = \frac{SC_{\text{entre}}}{SC_{\text{total}}} = \frac{1{,}0522 \times 10^{15}}{1{,}5531 \times 10^{16}} = 0{,}068$$

Pero la SC entre nunca da cero

Acá hay una trampa que la identidad esconde. Aunque todas las medias poblacionales sean idénticas, las muestrales difieren por azar, así que $SC_{\text{entre}}$ es positiva siempre y $\eta^2$ también. Su valor esperado bajo la nula tiene una fórmula simple:

$$E[\eta^2 \mid H_0] \approx \frac{k-1}{N-1}$$

Simulado con 20.000 réplicas por fila, con todas las medias iguales por construcción:

Grupos	$n$ por grupo	$N$	$\eta^2$ medio	$(k-1)/(N-1)$	Veces que supera 0,06
3	10	30	0,0698	0,0690	44,0 %
4	10	40	0,0773	0,0769	52,3 %
6	10	60	0,0847	0,0847	63,4 %
4	25	100	0,0303	0,0303	11,3 %
6	30	180	0,0282	0,0279	5,5 %
3	100	300	0,0067	0,0067	0,0 %
6	2.561	15.366	0,0003	0,0003	0,0 %

7 · Cuando la descomposición deja de ser única

Con un factor, la identidad reparte la variabilidad sin ambigüedad. Con dos factores y grupos de tamaños distintos —o sea, casi cualquier dato real— los dos factores comparten información y ya no hay una única manera de repartir lo que comparten.

Sobre la EPH, con nivel educativo y sexo, donde las cuatro celdas tienen 2.868, 1.563, 5.438 y 5.496 casos:

Suma de cuadrados	Educación	Sexo
Tipo I, educación primero	$4{,}500 \times 10^{14}$	$4{,}531 \times 10^{14}$
Tipo I, sexo primero	$5{,}720 \times 10^{14}$	$3{,}312 \times 10^{14}$
Tipo III	$5{,}720 \times 10^{14}$	$4{,}531 \times 10^{14}$

Tipo	Qué le da a cada factor	Suman al SC del modelo
I (secuencial)	lo que agrega en el orden dado	Sí
II	lo que agrega sobre los demás factores, sin interacciones	No
III (marginal)	lo que agrega entrando último, con todo lo demás puesto	No

8 · Por qué esto aparece en todos lados

La misma idea —partir la variabilidad en explicada y residual— es el motor de:

• El ANOVA de uno y de varios factores.
• El $R^2$ de cualquier regresión.
• La prueba F de significación global de un modelo.
• La comparación de modelos anidados.
• Los componentes de varianza de los modelos mixtos.

Entender la descomposición una vez sirve para todos.

9 · Errores frecuentes

• Sumar cuadrados medios. Solo se suman las sumas de cuadrados.
• Confundir $SC$ con $CM$.
• Olvidar el $n_i$ en la suma entre grupos: cada media pesa según el tamaño de su grupo.
• Calcular la suma dentro contra la media general en lugar de contra la media de cada grupo.
• No verificar que los grados de libertad sumen.
• Interpretar una $SC$ grande como efecto grande sin dividir por la total.
• Leer el $\eta^2$ de una muestra chica como si fuera el efecto. Con cuatro grupos de diez y ningún efecto, promedia 0,077.
• No declarar el tipo de suma de cuadrados con dos factores desbalanceados. Cambia el resultado y cada programa usa otro por defecto.
• Buscar por qué una tabla de tipo III no cierra. No tiene que cerrar.

10 · En el software

# R — la tabla trae la descomposición completa
modelo <- aov(ingreso ~ factor(nivel_ed), data = d)
summary(modelo)

# A mano, para verla
sct <- sum((d$ingreso - mean(d$ingreso))^2)
scd <- sum(residuals(modelo)^2)
sce <- sct - scd
c(entre = sce, dentro = scd, total = sct)
sce / sct                          # eta² = 0.068

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