Grados de libertad

1 · Definición

Los grados de libertad son la cantidad de valores que podrían variar libremente en un cálculo, una vez impuestas las restricciones que el propio cálculo introduce.

$$\text{gl} = \text{datos} - \text{cantidades estimadas}$$

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2 · La intuición, con cuatro números

Supongamos que cinco valores tienen media 10. Los primeros cuatro pueden ser cualquier cosa: 3, 12, 8 y 20. Pero el quinto ya no puede elegirse: para que la media dé 10 la suma tiene que ser 50, así que el quinto vale forzosamente 7.

Cuatro de los cinco fueron libres. Por eso los desvíos respecto de la media tienen $n - 1 = 4$ grados de libertad, y por eso la varianza muestral divide por $n-1$ y no por $n$.

La restricción es que $\sum (x_i - \bar{x}) = 0$ siempre, por construcción. Conocidos $n-1$ desvíos, el último queda determinado.

Ver por qué se divide por n−1 para la consecuencia sobre el sesgo del estimador.

3 · Qué cambian en la práctica

No cambian el estadístico calculado: cambian la distribución con la que se lo compara, y por lo tanto el valor crítico y el valor p.

gl	$t_{0{,}975}$
5	2,571
10	2,228
30	2,042
100	1,984
∞	1,960

Con pocos grados de libertad hace falta un estadístico mucho más grande para concluir lo mismo. Es exactamente lo que se espera: con poca información, más exigencia.

Qué cuesta equivocarlos

No todos los errores de grados de libertad pesan igual. Tomando el valor crítico equivocado y calculando el nivel de significación real que produce:

Error	Crítico usado	$\alpha$ real
t con $n = 10$: usar 10 gl en vez de 9	2,228	5,3 %
t con $n = 5$: usar 5 gl en vez de 4	2,571	6,2 %
Apareados: usar 39 gl en vez de 19	2,023	5,7 %
$\chi^2$ en tabla 2×2: usar 4 gl en vez de 1	9,488	0,2 %
$\chi^2$ en tabla 3×3: usar 1 gl en vez de 4	3,841	42,8 %

La diferencia tiene explicación. El crítico de la t converge rápido —de 5 a 10 grados de libertad cambia un 13 %, de 30 a 100 apenas un 3 %— mientras que la chi-cuadrado cambia de escala, porque su media es directamente $\nu$: con 4 grados de libertad el crítico es 9,49 y con 1 es 3,84, dos veces y media más chico.

4 · Los casos del curso

Procedimiento	Grados de libertad
Varianza y desvío muestral	$n - 1$
IC y prueba t para una media	$n - 1$
Prueba t para dos medias, varianzas iguales	$n_1 + n_2 - 2$
Prueba t para dos medias, varianzas distintas	fórmula de Welch (la calcula el software)
Prueba t para datos apareados	$n - 1$, con $n$ = cantidad de pares
Chi-cuadrado de bondad de ajuste	$k - 1 - m$
Chi-cuadrado en tabla $f \times c$	$(f-1)(c-1)$
ANOVA: entre grupos	$k - 1$
ANOVA: dentro de los grupos	$N - k$
Regresión simple: residuos	$n - 2$
Regresión múltiple con $k$ predictores	$n - k - 1$

El patrón se repite: tantos grados de libertad como datos, menos una unidad por cada cantidad que hubo que estimar antes. En regresión simple se estiman dos —la pendiente y la ordenada—, de ahí el $n-2$.

5 · Welch: cuando los grados de libertad no son un entero

La fila más rara de la tabla anterior es la de la t con varianzas distintas. Su fórmula, escribiendo $u_i = s_i^{2}/n_i$:

$$\nu = \frac{(u_1 + u_2)^{2}}{\dfrac{u_1^{2}}{n_1-1} + \dfrac{u_2^{2}}{n_2-1}}$$

Casi nunca da un entero, y está bien que así sea: el resultado es una interpolación entre dos situaciones extremas, y siempre queda entre $\min(n_1, n_2) - 1$ y $n_1 + n_2 - 2$.

Lo que hace esa fórmula se ve mejor con el nivel de significación real. Simulando 200.000 pares de muestras con las medias iguales —o sea, donde rechazar es siempre un error— y probando al 5 %:

$n_1$	$n_2$	$\sigma_1$	$\sigma_2$	gl de Welch	$\alpha$ agrupada	$\alpha$ Welch
10	10	1	1	16,5	5,00 %	4,87 %
10	30	1	1	17,1	5,01 %	5,18 %
10	30	1	3	36,2	0,38 %	4,95 %
10	30	3	1	9,9	21,13 %	5,05 %
5	50	1	3	19,8	0,01 %	5,32 %
5	50	3	1	4,2	38,93 %	5,27 %

Y cuando las varianzas sí son iguales, usar Welch cuesta muy poco: 16,5 grados de libertad en vez de 18, con el nivel real intacto. Esa es la razón de la recomendación de usar siempre Welch.

6 · Por qué aparecen en las tres distribuciones

La t, la chi-cuadrado y la F tienen grados de libertad como parámetro porque las tres se construyen sobre sumas de cuadrados de desvíos, y esos desvíos están atados por las restricciones del cálculo.

La F tiene dos conjuntos —numerador y denominador— porque compara dos sumas de cuadrados distintas, cada una con sus propias restricciones.

7 · Errores frecuentes

• Usar $n$ en lugar de $n-1$, o al revés, al buscar el valor crítico.
• Contar mal en datos apareados. Con 20 personas medidas antes y después hay 20 pares y 19 grados de libertad, no 39.
• Usar $f \times c$ en la tabla de contingencia. Van $(f-1)(c-1)$.
• Olvidar descontar los parámetros estimados en bondad de ajuste. Si se estimó la media para ajustar una Poisson, se resta uno más.
• Redondear los gl de Welch. El software los deja con decimales —13,7 gl es un resultado válido— y así corresponde reportarlos.
• Creer que son una propiedad del dato. Son una propiedad del procedimiento aplicado a ese dato.
• Tratar todos los errores de gl como equivalentes. En la t se pagan décimas; en la chi-cuadrado, decenas de puntos porcentuales.
• Usar $n_1 + n_2 - 2$ con varianzas muy distintas. Con 5 contra 50 casos el nivel real puede llegar al 39 %.

8 · En el software

# R los informa siempre en la salida
t.test(x, y)          # "df = 13.72"
summary(aov(y ~ g))   # columna Df
summary(modelo)       # "on 47 degrees of freedom"

length(x) - 1         # a mano, para una media

# Python
from scipy import stats
stats.ttest_ind(x, y, equal_var=False)   # devuelve df
modelo.df_resid                          # en statsmodels

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