Desvío medio absoluto

1 · Definición

El desvío medio absoluto es el promedio de las distancias de cada dato a la media, tomadas en valor absoluto:

$$D_m = \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|}{n}$$

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2 · Para qué sirve

Su valor es sobre todo didáctico: es la solución más directa al problema de que los desvíos suman cero.

Cuando hay que evitar esa compensación, hay dos salidas: el valor absoluto o el cuadrado. El valor absoluto es lo primero que se le ocurre a cualquiera y da exactamente lo que promete: una distancia promedio.

Entenderlo hace que el desvío estándar deje de parecer arbitrario, porque queda claro que el cuadrado es una elección y no la única posibilidad.

3 · Por qué se usa tan poco

Por una razón matemática y una histórica.

No es derivable en cero. El valor absoluto tiene un pico en el origen, y eso impide el tratamiento algebraico que hace posible casi toda la Estadística inferencial. Sobre el cuadrado se pueden construir la varianza descomponible del ANOVA, la regresión por mínimos cuadrados y las distribuciones muestrales, con fórmulas cerradas. Sobre el valor absoluto también se puede construir —la regresión de la sección 6 lo hace—, pero es mucho más difícil y casi nada sale en una fórmula.

No se descompone. La varianza de una suma de variables independientes es la suma de las varianzas. Con el desvío medio no existe una propiedad equivalente, y esa propiedad es la que sostiene toda la inferencia.

El resultado es que el desvío medio es más interpretable y menos útil como herramienta de inferencia. La Estadística eligió la utilidad.

4 · Un ejemplo

Con el ingreso de la ocupación principal (EPH, 1T 2026, ponderado con PONDIIO):

Medida	Valor
Desvío medio	$652.591
Desvío estándar	$1.063.114
Cociente	1,63

Y con la edad de los ocupados de 15 a 74 años:

Medida	Valor
Desvío medio	10,7 años
Desvío estándar	12,9 años
Cociente	1,20

El desvío estándar es siempre mayor o igual que el desvío medio, porque el cuadrado pesa más los apartamientos grandes.

Los cocientes también dicen algo: en el ingreso el desvío estándar es un 63 % más grande que el desvío medio; en la edad, apenas un 20 %. Esa brecha es una medida de cuánto pesan los valores extremos: cuanto más larga es la cola, más se despega el desvío estándar. La asimetría también la agranda, porque una cola larga de un solo lado es justamente una fuente de valores extremos; en el ingreso pesan las dos cosas.

5 · ¿Respecto de la media o de la mediana?

La fórmula de arriba mide las distancias a la media, pero nada obliga a eso, y varios manuales lo definen respecto de la mediana. No es indistinto:

Es la propiedad que ya aparece en la entrada de mediana, y acá tiene una consecuencia concreta: si se elige el valor absoluto justamente para no exagerar los extremos, tiene poco sentido medir desde la media, que sí se deja arrastrar por ellos. La versión coherente es mediana con desvío absoluto respecto de la mediana. Con el ingreso del ejemplo, el desvío medio respecto de la media es $652.591 y respecto de la mediana, $617.716. Lo importante, como siempre, es declarar desde dónde se midió, porque los dos números circulan con el mismo nombre.

6 · Dónde sí se usa la idea

Que el desvío medio casi no aparezca como medida descriptiva no significa que el valor absoluto haya perdido. Reapareció, con otro nombre, en los lugares donde lo que se mide son errores:

El MAE es casi el desvío medio de los errores de un modelo: mide su distancia promedio al cero, no a su media, y las dos cosas coinciden cuando los errores promedian cero, como en una regresión por mínimos cuadrados con constante. Se informa todo el tiempo junto a la raíz del error cuadrático medio (RMSE), que está en las mismas unidades. La comparación entre los dos se lee igual que la de esta entrada: si el RMSE es mucho mayor que el MAE, el modelo está fallando feo en unos pocos casos, no un poco en todos.

7 · Una variante que sí se usa

El MAD (median absolute deviation) reemplaza las dos medias por medianas:

$$\mathrm{MAD} = \mathrm{mediana}\bigl(|x_i - \tilde{x}|\bigr)$$

Esa versión sí se usa, y bastante, porque es muy robusta: ni la mediana central ni la mediana de las distancias se mueven con los extremos. Aparece en detección de atípicos y en Estadística robusta, donde suele multiplicarse por 1,4826 para que resulte comparable con el desvío estándar de una normal.

Con el ingreso de la EPH, el MAD es $400.000; multiplicado por 1,4826, $593.040. Es poco más de la mitad del desvío estándar ($1.063.114): la diferencia es lo que aporta la cola, que el MAD ignora.

Conviene no confundir las siglas: en inglés “MAD” se usa a veces para mean absolute deviation y a veces para median absolute deviation, que son cosas distintas. El software no ayuda: el método .mad() de pandas calculaba el desvío medio, no el MAD, y se eliminó en pandas 2.0.

8 · Errores frecuentes

• Confundirlo con el desvío estándar. Son medidas distintas y dan números distintos. No se pueden intercambiar en una fórmula.
• Olvidar el valor absoluto. Sin él, la suma da cero siempre y el resultado no significa nada.
• No decir desde qué centro se midió. Respecto de la media y respecto de la mediana son dos números, y el segundo siempre es menor o igual.
• Usarlo para inferencia. Los intervalos de confianza y las pruebas están construidos sobre el desvío estándar. No hay versión estándar con desvío medio.
• Confundir las dos cosas llamadas MAD. La versión con medianas es robusta; la versión con medias, no.
• Presentarlo como “mejor” que el desvío estándar. Es más interpretable, sí, pero no reemplaza sus funciones. La ventaja de cada uno depende de la forma de la distribución.

9 · En el software

# R — el desvío medio no viene incorporado
mean(abs(x - mean(x)))
mean(abs(x - median(x)))   # la versión respecto de la mediana

# Ponderado, como en el ejemplo (w: el ponderador; PONDIIO para el ingreso)
m <- weighted.mean(x, w)
weighted.mean(abs(x - m), w)

# El MAD robusto sí, y con la constante de escala ya aplicada
mad(x)
mad(x, constant = 1)   # sin la corrección por normalidad

# Python
(datos["x"] - datos["x"].mean()).abs().mean()

# Ponderado
m = np.average(datos["x"], weights=datos["w"])
np.average((datos["x"] - m).abs(), weights=datos["w"])

# MAD: scipy NO aplica la constante por defecto, al revés que R
from scipy.stats import median_abs_deviation
median_abs_deviation(datos["x"])                   # como mad(x, constant = 1)
median_abs_deviation(datos["x"], scale="normal")   # como mad(x) de R

# MAE de un modelo
from sklearn.metrics import mean_absolute_error

Excel:    =DESVPROM(rango)                       respecto de la media, sin pesos
          =PROMEDIO(ABS(rango-MEDIANA(rango)))   respecto de la mediana
                                                 (matricial; directa en Excel 365)

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