Puntaje z y estandarización

1 · Definición

El puntaje z de un valor es la cantidad de desvíos estándar que lo separan de la media:

$$z_i = \frac{x_i - \bar{x}}{s}$$

2 · Para qué sirve

Comparar posiciones en escalas distintas. Un ingreso de $2.000.000 y una edad de 60 años no se pueden comparar. Sus puntajes z sí: dicen cuán excepcional es cada uno dentro de su propia distribución.

Detectar valores extremos. Un $|z|$ grande señala un caso alejado del grueso.

Preparar datos para análisis multivariados. En componentes principales, conglomerados o regresión con variables de escalas muy distintas, estandarizar evita que la variable con números más grandes domine el resultado.

Y es el puente a la distribución normal, donde el puntaje z permite calcular probabilidades — pero eso viene después, en normal estándar y tipificación.

3 · Sus propiedades

Al estandarizar todos los valores de una variable, el conjunto transformado cumple siempre:

$$\bar{z} = 0 \qquad s_z = 1$$

La media pasa a cero y el desvío a uno, sin importar cuáles fueran antes.

Y hay algo que no cambia: la forma de la distribución. Estandarizar es restar una constante y dividir por otra, o sea correr y reescalar. Si la distribución era asimétrica, sigue siéndolo exactamente igual.

4 · Cómo se interpreta

$z$	Significa
0	El valor es exactamente la media
+1	Un desvío por encima de la media
−1,5	Un desvío y medio por debajo
|z| > 2	Poco frecuente
|z| > 3	Muy poco frecuente; candidato a revisar

Los umbrales de 2 y 3 son orientativos y suponen una distribución más o menos acampanada. En una distribución muy asimétrica un $z = 3$ puede ser bastante común, como se ve enseguida.

5 · Un ejemplo

Con el ingreso de la ocupación principal (media $1.104.227, desvío $1.063.114):

Ingreso	$z$	Lectura
$500.000	−0,57	Algo más de medio desvío por debajo
$900.000	−0,19	Apenas por debajo de la media
$2.000.000	0,84	Menos de un desvío por encima
$5.000.000	3,66	Más de tres desvíos y medio

Fijate en la segunda fila: la mediana del ingreso tiene un puntaje z de −0,19. Es decir que la persona que está exactamente en el medio de la distribución aparece, en lenguaje de z, por debajo del promedio. Es otra forma de ver la asimetría.

Y fijate en la primera: un ingreso de $2.000.000 —el decil 9, el corte del 10 % de mayores ingresos— tiene un z de apenas 0,84. En una distribución con cola larga, el desvío estándar es tan grande que hasta valores altos parecen cercanos a la media.

6 · Estandarizar no es normalizar

Dos operaciones que se confunden todo el tiempo:

	Estandarizar	Normalizar (min-max)
Fórmula	$(x - \bar{x})/s$	$(x - x_{\min})/(x_{\max} - x_{\min})$
Resultado	Media 0, desvío 1	Todo entre 0 y 1
Sensible a atípicos	Moderadamente	Mucho

Y ninguna de las dos “hace normal” a la distribución. Para eso hay que transformar la variable —logaritmo, raíz—, que es otra cosa y se ve en transformación de variables.

7 · Errores frecuentes

• Creer que estandarizar normaliza. No cambia la forma. Es el error que hay que desactivar primero.
• Usar los umbrales 2 y 3 en distribuciones muy asimétricas. Con ingresos, un $|z| > 3$ es bastante más frecuente de lo que sugiere la intuición.
• Estandarizar con la media y el desvío de otro conjunto. Si estandarizás una muestra y después otra, cada una con sus propios parámetros, los z no son comparables entre sí.
• Estandarizar variables categóricas. No tiene sentido.
• Interpretar el signo al revés. Un z negativo está por debajo de la media.
• Usarlo como único criterio de atípico. La media y el desvío están ellos mismos afectados por los valores extremos, así que un atípico muy grande “esconde” a los demás inflando el desvío. La regla del rango intercuartílico es más estable.

8 · En el software

# R
z <- scale(datos$ingreso)           # devuelve una matriz
z <- as.vector(scale(datos$ingreso))

# A mano
(datos$ingreso - mean(datos$ingreso)) / sd(datos$ingreso)

# Python
z = (datos["ingreso"] - datos["ingreso"].mean()) / datos["ingreso"].std()

from scipy.stats import zscore
zscore(datos["ingreso"], ddof=1)

Excel:    =NORMALIZACION(x; media; desv_estándar)
          o directamente =(A2-PROMEDIO($A$2:$A$100))/DESVEST.M($A$2:$A$100)
SPSS:     Descriptivos › "Guardar valores tipificados como variables"
InfoStat: Datos › Transformar › Estandarizar

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