Puntaje z y estandarización

1 · Definición

El puntaje z de un valor es la cantidad de desvíos estándar que lo separan de la media:

$$z_i = \frac{x_i - \bar{x}}{s}$$

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2 · Para qué sirve

Comparar posiciones en escalas distintas. Un ingreso de $2.000.000 y una edad de 60 años no se pueden comparar. Sus puntajes z sí: dicen cuán excepcional es cada uno dentro de su propia distribución. Entre los ocupados de la EPH, el ingreso tiene un z de 0,84 y la edad, de 1,47.

Pero esa comparación tiene una condición, y este mismo ejemplo la rompe. Por el z, la edad de 60 parece mucho más excepcional que el ingreso de $2.000.000. Por el percentil, los dos están en el mismo lugar: alrededor del 90 % de los ocupados es más joven que 60 años (91 %), y alrededor del 90 % gana menos de $2.000.000 (entre 87 % y 91 %). El z compara bien posiciones solo cuando las dos distribuciones tienen una forma parecida; si no, compara mejor el percentil.

Detectar valores extremos. Un $|z|$ grande señala un caso alejado del grueso.

Preparar datos para análisis multivariados. En componentes principales, conglomerados o regresión con variables de escalas muy distintas, estandarizar evita que la variable con números más grandes domine el resultado.

Y es el puente a la distribución normal, donde el puntaje z permite calcular probabilidades — pero eso viene después, en normal estándar y tipificación.

3 · Sus propiedades

Al estandarizar todos los valores de una variable, el conjunto transformado cumple siempre:

$$\bar{z} = 0 \qquad s_z = 1$$

La media pasa a cero y el desvío a uno, sin importar cuáles fueran antes.

Y hay algo que no cambia: la forma de la distribución. Estandarizar es restar una constante y dividir por otra, o sea correr y reescalar. Si la distribución era asimétrica, sigue siéndolo exactamente igual.

4 · Cómo se interpreta

$z$	Significa
0	El valor es exactamente la media
+1	Un desvío por encima de la media
−1,5	Un desvío y medio por debajo
|z| > 2	Poco frecuente
|z| > 3	Muy poco frecuente; candidato a revisar

Los umbrales de 2 y 3 son orientativos y suponen una distribución más o menos acampanada. En una distribución muy asimétrica un $z = 3$ puede ser bastante común, como se ve enseguida: en el ingreso de la EPH, el 1,6 % de los ocupados tiene $z > 3$, doce veces más que el 0,13 % que tendría una normal.

Y en esas distribuciones el z tampoco es simétrico. En el ingreso, nadie tiene un z menor que −1,03: es el de un ingreso mínimo, y como los ingresos no bajan de cero, no hay lugar para alejarse más de la media hacia abajo. Toda la acción está del lado positivo.

5 · Un ejemplo

Con el ingreso de la ocupación principal (media $1.104.227, desvío $1.063.114, ponderados con PONDIIO):

Ingreso	$z$	Lectura
$500.000	−0,57	Algo más de medio desvío por debajo
$900.000	−0,19	Apenas por debajo de la media
$2.000.000	0,84	Menos de un desvío por encima
$5.000.000	3,66	Más de tres desvíos y medio

La segunda fila es la más llamativa: la mediana del ingreso tiene un puntaje z de −0,19. Es decir que la persona que está exactamente en el medio de la distribución aparece, en lenguaje de z, por debajo del promedio. Es otra forma de ver la asimetría.

La tercera también sorprende: un ingreso de $2.000.000 —el decil 9, el corte del 10 % de mayores ingresos— tiene un z de apenas 0,84. En una distribución con cola larga, el desvío estándar es tan grande que hasta valores altos parecen cercanos a la media.

6 · Estandarizar no es normalizar

Dos operaciones que se confunden todo el tiempo:

	Estandarizar	Normalizar (min-max)
Fórmula	$(x - \bar{x})/s$	$(x - x_{\min})/(x_{\max} - x_{\min})$
Resultado	Media 0, desvío 1	Todo entre 0 y 1
Sensible a atípicos	Moderadamente	Mucho

El vocabulario no ayuda: en Excel, la función que estandariza se llama NORMALIZACION. Y ninguna de las dos “hace normal” a la distribución. Para eso hay que transformar la variable —logaritmo, raíz—, que es otra cosa y se ve en transformación de variables.

7 · Las escalas que salen del z

Un puntaje z tiene dos incomodidades para comunicar: la mitad de los valores son negativos y casi todos están entre −3 y 3, con decimales. Por eso, en evaluación educativa y en psicometría se lo reescala a números más amables. Todas son la misma transformación lineal, $\text{nueva} = a + b\,z$:

Un $z = 0{,}84$ es un T de 58 y un CI de 113: el mismo dato, tres vestidos distintos.

8 · Errores frecuentes

• Creer que estandarizar normaliza. No cambia la forma. Es el error que hay que desactivar primero.
• Convertir z en percentil sin justificar la normalidad. Solo vale si la distribución es aproximadamente normal; con datos asimétricos el percentil real puede estar a diez puntos o más.
• Usar los umbrales 2 y 3 en distribuciones muy asimétricas. Con ingresos, un $|z| > 3$ es bastante más frecuente de lo que sugiere la intuición: el 1,6 % contra el 0,13 % de una normal.
• Comparar z calculados con parámetros distintos. Si estandarizás una muestra y después otra, cada una con su propia media y su propio desvío, los z no son comparables entre sí. Para comparar entre conjuntos se estandariza con una referencia común.
• Estandarizar variables categóricas. No tiene sentido.
• Interpretar el signo al revés. Un z negativo está por debajo de la media.
• Usarlo como único criterio de atípico. La media y el desvío están ellos mismos afectados por los valores extremos, así que un atípico muy grande “esconde” a los demás inflando el desvío. La regla del rango intercuartílico o el z robusto son más estables.

9 · En el software

# R
z <- scale(datos$ingreso)           # devuelve una matriz
z <- as.vector(scale(datos$ingreso))

# A mano
(datos$ingreso - mean(datos$ingreso)) / sd(datos$ingreso)

# Versión robusta
(datos$ingreso - median(datos$ingreso)) / mad(datos$ingreso)

# Con el ponderador, como en el ejemplo
w <- datos$PONDIIO
m <- weighted.mean(datos$ingreso, w)
(datos$ingreso - m) / sqrt(weighted.mean((datos$ingreso - m)^2, w))

# Python
z = (datos["ingreso"] - datos["ingreso"].mean()) / datos["ingreso"].std()

from scipy.stats import zscore
zscore(datos["ingreso"], ddof=1)    # ddof=1: sin él, scipy divide por n y
                                    # no coincide con R ni con pandas

# Con el ponderador
m = np.average(datos["ingreso"], weights=datos["PONDIIO"])
s = np.sqrt(np.average((datos["ingreso"] - m)**2, weights=datos["PONDIIO"]))
z = (datos["ingreso"] - m) / s

Excel:    =NORMALIZACION(x; media; desv_estándar)   estandariza, pese al nombre
          o directamente =(A2-PROMEDIO($A$2:$A$100))/DESVEST.M($A$2:$A$100)
SPSS:     Descriptivos › "Guardar valores tipificados como variables"
InfoStat: Datos › Transformar › Estandarizar

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