Supuesto de homogeneidad de varianzas

1 · Qué dice el supuesto

Que los grupos que se comparan tienen la misma varianza poblacional:

$$\sigma_1^{2} = \sigma_2^{2} = \dots = \sigma_k^{2}$$

También se lo llama homocedasticidad. Su incumplimiento es la heterocedasticidad.

2 · Dónde se exige

Procedimiento	¿Lo exige?
t clásica para dos muestras	Sí
t de Welch	No
ANOVA clásico	Sí
ANOVA de Welch	No
Regresión lineal (sobre residuos)	Sí
Pruebas no paramétricas	Depende de cuál

3 · Cómo se verifica

Mirando. Un boxplot por grupo muestra de inmediato si las cajas tienen alturas muy distintas. Es el método más informativo y el menos usado.

Regla práctica. Si el desvío mayor es menos del doble del menor, la violación rara vez importa —siempre que los grupos tengan tamaños parecidos—.

Pruebas formales:

Prueba	Característica
Levene (con mediana, o Brown-Forsythe)	La recomendada: robusta a la no normalidad
Bartlett	Más potente si hay normalidad, muy sensible si no
F de dos varianzas	Solo dos grupos, muy sensible

4 · El ejemplo de la EPH

	Varones	Mujeres
$s$	$1.145.718	$775.612
$s^2$	$1{,}31 \times 10^{12}$	$6{,}02 \times 10^{11}$

El cociente de varianzas es 2,18 y la prueba de Levene da $p < 0{,}001$: las varianzas no son homogéneas. Con Welch eso no importa, y por eso Welch es la opción por defecto.

5 · Por qué no conviene la prueba previa

Es la parte contraintuitiva y la más importante de esta entrada.

La práctica habitual —correr Levene, y según el resultado elegir la t clásica o la de Welch— tiene problemas conocidos:

Es una prueba condicionada a otra prueba. El $\alpha$ final del procedimiento no es el declarado, porque la elección de la prueba dependió de los datos.

Levene tiene poca potencia con $n$ chico, que es justo cuando la violación más daña. Con muestras chicas casi nunca detecta heterocedasticidad, así que avala usar la prueba que no corresponde.

Con $n$ grande detecta diferencias triviales, y manda a Welch cuando daba igual.

6 · Cuánto daña la violación

Depende de si los tamaños de grupo son parecidos:

Situación	Consecuencia
$n$ iguales, varianzas distintas	Poco daño: la t clásica es robusta
$n$ grande en el grupo de mayor varianza	$\alpha$ real menor que el nominal: conservador
$n$ chico en el grupo de mayor varianza	$\alpha$ real mayor: falsos positivos

7 · Errores frecuentes

• Usar Levene como filtro para elegir entre t clásica y Welch.
• Confundirlo con normalidad. Son supuestos distintos e independientes.
• Verificarlo sobre las variables en regresión, en vez de sobre los residuos.
• Usar Bartlett sin normalidad. Es muy sensible a ella.
• Ignorarlo cuando los grupos tienen tamaños muy distintos. Ahí sí importa.
• Reportar solo el valor p de Levene sin mostrar los desvíos de cada grupo, que es lo que el lector necesita.

8 · En el software

# R
car::leveneTest(ingreso ~ sexo)          # con mediana, robusta
bartlett.test(ingreso ~ sexo)            # exige normalidad
var.test(v, m)                           # F de dos varianzas

boxplot(ingreso ~ sexo)                  # lo primero que hay que mirar

# Python
from scipy import stats
stats.levene(v, m, center='median')      # Brown-Forsythe
stats.bartlett(v, m)

SPSS:     la prueba de Levene aparece automáticamente en la salida de la
          prueba T y del ANOVA

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