Curtosis

1 · Definición

La curtosis mide el peso de las colas de una distribución en comparación con las de la distribución normal.

$$g_2 = \frac{\frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^4}{\left(\frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2\right)^2} - 3$$

El denominador es la varianza calculada dividiendo por $n$, elevada al cuadrado. Hay versiones con $n-1$ y con correcciones por tamaño de muestra; con muchos datos dan prácticamente lo mismo.

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2 · Qué mide realmente

Acá hay que desactivar algo que dicen casi todos los manuales: la curtosis no mide cuán puntiaguda es la distribución.

Mide el peso de las colas. Una curtosis alta significa que hay más casos extremos de los que habría en una normal; una curtosis baja, que hay menos. Que el centro se vea más alto o más achatado es un efecto lateral de que la varianza se reparte distinto, no lo que el coeficiente cuantifica.

La confusión viene de lejos: el propio Karl Pearson, que bautizó la medida en 1905, la describió en términos de la forma del pico, y los manuales la repitieron durante un siglo. Peter Westfall la desarmó en 2014 en un artículo con un título elocuente: Kurtosis as Peakedness, 1905–2014. R.I.P. La forma correcta de decirlo: curtosis es peso de colas.

3 · Cómo se lee

Exceso de curtosis	Nombre	Significa
≈ 0	Mesocúrtica	Colas como las de la normal
> 0	Leptocúrtica	Colas más pesadas: más valores extremos
< 0	Platicúrtica	Colas más livianas: menos valores extremos

Regla mnemotécnica sin pretensiones: lepto de “delgada y alta” (aunque lo que importe sean las colas), plati de “plana”.

Y algunas referencias para ubicar cualquier número que aparezca:

Distribución	Exceso de curtosis
Bernoulli 50/50 (dos valores)	−2,0 (el mínimo posible)
Uniforme	−1,2
Normal	0
t de Student con 5 gl	6,0
Exponencial	6,0

4 · Un ejemplo

Dos variables de la EPH del primer trimestre de 2026: el ingreso de los ocupados (ponderado con PONDIIO) y la edad de los ocupados de 15 a 74 años (con PONDERA):

	Ingreso	Edad
Asimetría	5,46	0,26
Curtosis (exceso)	95,49	−0,73
Casos fuera de ±3s	1,6 %	0,0 %

El ingreso tiene una curtosis de 95,5, un valor altísimo. Las colas son extraordinariamente pesadas: hay un ingreso de $40.000.000 en una distribución cuya mediana es $900.000. Esos poquísimos casos, elevados a la cuarta potencia, dominan el cálculo.

Tanto que el ponderador cambia todo. Sin ponderar, la curtosis del ingreso da 267 —casi el triple— y la asimetría, 10,2. Los cinco ingresos más altos de la muestra, de $15.000.000 a $40.000.000, tienen factores de expansión de entre 144 y 448, muy por debajo del promedio de 850: con el ponderador pesan poco, y sin él cada uno cuenta como un caso entero, que la cuarta potencia multiplica.

La edad tiene curtosis −0,73, o sea platicúrtica: colas más livianas que la normal. Tiene sentido, porque la variable está acotada por construcción —no hay ocupados de 5 ni de 120 años— y los casos se reparten de manera bastante pareja entre los 25 y los 55, más cerca de una uniforme que de una campana.

5 · Para qué se usa en la práctica

Es la menos usada de las medidas descriptivas, y con razón: rara vez cambia una decisión. Sus dos usos reales:

Como parte del diagnóstico de normalidad, junto con la asimetría. Valores de asimetría y curtosis cercanos a cero son compatibles con una normal; valores grandes son evidencia en contra. Para una respuesta formal están las pruebas de normalidad.

En finanzas y gestión de riesgo, donde el peso de las colas es exactamente lo que interesa: la curtosis alta de los rendimientos financieros significa que los eventos extremos son más probables de lo que predice el modelo normal, y eso tiene consecuencias concretas.

Fuera de esos dos usos, informarla en un trabajo descriptivo suele ser relleno.

6 · Errores frecuentes

• Decir que mide el apuntamiento. Mide el peso de las colas. Es el error más extendido y viene en muchos libros de texto.
• No saber si el programa resta 3 o no. Cambia por completo la interpretación.
• Interpretarla con muestras chicas. Es aún más inestable que la asimetría: con 50 casos de una normal perfecta, el exceso de curtosis cae entre −0,94 y 1,36 en el 95 % de las muestras. Con menos, el valor es prácticamente ruido.
• Informarla porque el software la calcula. Si no responde una pregunta del trabajo, no va.
• Tratarla como prueba de normalidad. Es un indicio descriptivo, no un test.
• Leer una curtosis negativa como “pocos datos en el centro”. Significa colas livianas, que es lo que pasa con muchas variables acotadas. No con todas: una variable que vale 1 en el 1 % de los casos y 0 en el resto está acotada y tiene un exceso de curtosis cercano a 95.
• Compararla entre programas sin verificar la fórmula. Igual que con la asimetría, hay varias versiones con y sin corrección por tamaño de muestra.

7 · En el software

# R
library(e1071)
kurtosis(datos$ingreso)             # ya resta 3
kurtosis(datos$ingreso, type = 2)   # G2, igual que Excel y SPSS
# Ojo: moments::kurtosis() NO resta 3

# Con el ponderador, como en el ejemplo
w <- datos$PONDIIO; x <- datos$ingreso
m <- weighted.mean(x, w)
weighted.mean((x - m)^4, w) / weighted.mean((x - m)^2, w)^2 - 3

# Python
from scipy.stats import kurtosis
kurtosis(datos["ingreso"])                # exceso (resta 3)
kurtosis(datos["ingreso"], fisher=False)  # sin restar 3
kurtosis(datos["ingreso"], bias=False)    # G2, igual que Excel y SPSS
datos["ingreso"].kurt()                   # pandas: G2, exceso

# Con el ponderador
x, w = datos["ingreso"], datos["PONDIIO"]
m = np.average(x, weights=w)
np.average((x - m)**4, weights=w) / np.average((x - m)**2, weights=w)**2 - 3

Excel:    =CURTOSIS(rango)    devuelve el exceso (la normal da 0)
SPSS:     Descriptivos › Opciones › Curtosis  (exceso, con su error típico)
InfoStat: Estadísticas › Medidas resumen

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