Regla empírica y desigualdad de Chebyshev

1 · Definición

La regla empírica dice que, en una distribución aproximadamente normal:

Intervalo	Proporción de los datos
$\bar{x} \pm 1s$	≈ 68 %
$\bar{x} \pm 2s$	≈ 95 %
$\bar{x} \pm 3s$	≈ 99,7 %

La desigualdad de Chebyshev dice algo más débil pero válido para cualquier distribución:

$$P\bigl(|x - \bar{x}| < k\,s\bigr) \ge 1 - \frac{1}{k^2} \qquad (k > 1)$$

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2 · Para qué sirven

Para darle sentido concreto al desvío estándar. Sin una regla de este tipo, saber que “el desvío es 12,9” no dice nada sobre cuántos casos están cerca o lejos.

Y para tener un criterio rápido de valores inusuales: si el 95 % de los datos está dentro de dos desvíos, un caso a tres desvíos es raro y merece una mirada.

3 · Chebyshev: la cota universal

Aplicando la fórmula, y poniendo al lado lo que se obtiene agregando supuestos:

$k$	Cualquier distribución	Si es unimodal	Si es normal
2	≥ 75 %	≥ 88,9 %	95,4 %
3	≥ 88,9 %	≥ 95,1 %	99,7 %
4	≥ 93,75 %	≥ 97,2 %	99,99 %

La diferencia entre la primera y la última columna es enorme, y es el precio de no suponer nada. Chebyshev vale para una distribución asimétrica, bimodal o con la forma que sea — pero por eso su garantía es floja.

La columna del medio es un intermedio poco conocido y bastante útil: si además se sabe que la distribución tiene un solo pico, la cota mejora mucho sin exigir normalidad. A tres desvíos garantiza un 95 % en vez de un 89 %. Es la desigualdad de Vysochanskij-Petunin (1980), que asegura al menos $1 - 4/(9k^2)$ adentro, y vale para $k > \sqrt{8/3} \approx 1{,}63$: con un solo desvío no garantiza nada.

Para $k = 1$ la fórmula da cero: no garantiza nada. Es correcto — existen distribuciones donde casi ningún dato cae dentro de un desvío.

4 · Un ejemplo con datos reales

Acá se ve por qué importa la aclaración “si la distribución es normal”. Con dos variables de la EPH del primer trimestre de 2026:

Intervalo	Ingreso	Edad	Regla empírica	Chebyshev
$\pm 1s$	90,6 %	61,7 %	≈ 68 %	—
$\pm 2s$	96,8 %	97,5 %	≈ 95 %	≥ 75 %
$\pm 3s$	98,4 %	100,0 %	≈ 99,7 %	≥ 88,9 %

El ingreso se aparta muchísimo. Dentro de un desvío hay un 90,6 % de los casos, no un 68 %. La razón es la cola larga: unos pocos ingresos altísimos inflan el desvío estándar, y ese desvío inflado termina cubriendo a casi toda la población. Al mismo tiempo, a tres desvíos todavía queda afuera un 1,6 % —contra el 0,3 % que predice la regla—, porque la cola sigue.

La edad se porta mejor pero tampoco cumple. A un desvío hay 61,7 %, algo menos del 68 % esperado. Y el 100 % a tres desvíos no es mérito de la variable: el universo son los ocupados de 15 a 74 años, y $41{,}0 \pm 3 \times 12{,}9$ va de 2,4 a 79,7 años. Ese intervalo contiene todas las edades posibles por construcción.

Y las dos, como no podía ser de otro modo, cumplen Chebyshev con holgura.

5 · La regla de los tres sigma

El tercer renglón de la regla empírica tiene vida propia fuera de la estadística descriptiva: es el criterio con el que se controlan los procesos industriales desde hace un siglo.

La lógica es la de siempre, leída al revés. Si el proceso funciona como debe y la medición se distribuye normalmente, solo el 0,27 % de las piezas cae fuera de $\pm 3\sigma$ — una cada 370—. Entonces se ponen los límites ahí: mientras los puntos queden adentro, no hay evidencia de que algo cambió; cuando uno se sale, conviene ir a mirar la máquina.

Ese es el fundamento de los gráficos de control, y también el motivo por el que la expresión “seis sigma” nombra a toda una metodología de gestión de la calidad: exigir que los límites de tolerancia estén a seis desvíos del centro es exigir que prácticamente ninguna pieza falle —en teoría, dos por cada mil millones—. El “3,4 fallas por millón” que se asocia a la metodología sale de suponer, además, que el proceso se corre 1,5 desvíos con el tiempo.

6 · Cómo usarlas

La regla empírica, como chequeo rápido: se calcula qué porcentaje de los datos cae dentro de un desvío. Si da bastante más o bastante menos que 68 %, la distribución no es normal y conviene mirar el histograma antes de seguir.

Chebyshev, cuando hay que afirmar algo sin suponer normalidad. Es raro en la práctica descriptiva, pero es la base teórica de varios resultados posteriores — entre ellos la ley de los grandes números.

7 · Errores frecuentes

• Aplicar la regla empírica sin verificar la forma. Es el error central. La regla es una propiedad de la distribución normal, no de los datos.
• Usar $\bar{x} \pm 2s$ como criterio de atípico en distribuciones asimétricas. Produce resultados absurdos: con el ingreso, el límite inferior da negativo. La regla del rango intercuartílico es más adecuada.
• Creer que Chebyshev da la proporción exacta. Da una cota inferior: “al menos”. La proporción real casi siempre es mayor.
• Usar Chebyshev con $k \le 1$. No aporta nada: la cota es cero o negativa.
• Repartir la cota de Chebyshev en dos mitades iguales. Da un número más chico que no está garantizado: en una distribución asimétrica toda la cola puede estar de un lado. Para una sola cola, la desigualdad que corresponde es la de Cantelli.
• Confundir la regla empírica con la definición de normalidad. Que se cumpla no prueba que la distribución sea normal; que no se cumpla sí es evidencia de que no lo es.

8 · Cómo verificarlo

# R — qué proporción cae dentro de k desvíos, con ponderadores opcionales
cobertura <- function(x, k, w = rep(1, length(x))) {
  x <- as.numeric(x)
  m <- weighted.mean(x, w)
  s <- sqrt(sum(w * (x - m)^2) / sum(w))
  100 * sum(w[abs(x - m) <= k * s]) / sum(w)
}
sapply(1:3, function(k) cobertura(datos$edad, k, datos$ponderador))

# Python
import numpy as np

def cobertura(x, k, w=None):
    w = np.ones(len(x)) if w is None else np.asarray(w)
    x = np.asarray(x, dtype=float)
    m = np.average(x, weights=w)
    s = np.sqrt(np.average((x - m)**2, weights=w))
    return 100 * w[np.abs(x - m) <= k * s].sum() / w.sum()

[cobertura(datos["edad"], k, datos["ponderador"]) for k in (1, 2, 3)]

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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