Regla empírica y desigualdad de Chebyshev

1 · Definición

La regla empírica dice que, en una distribución aproximadamente normal:

Intervalo	Proporción de los datos
$\bar{x} \pm 1s$	≈ 68 %
$\bar{x} \pm 2s$	≈ 95 %
$\bar{x} \pm 3s$	≈ 99,7 %

La desigualdad de Chebyshev dice algo más débil pero válido para cualquier distribución:

$$P\bigl(|x - \bar{x}| < k\,s\bigr) \ge 1 - \frac{1}{k^2} \qquad (k > 1)$$

2 · Para qué sirven

Para darle sentido concreto al desvío estándar. Sin una regla de este tipo, saber que “el desvío es 12,9” no dice nada sobre cuántos casos están cerca o lejos.

Y para tener un criterio rápido de valores inusuales: si el 95 % de los datos está dentro de dos desvíos, un caso a tres desvíos es raro y merece una mirada.

3 · Chebyshev: la cota universal

Aplicando la fórmula:

$k$	Cota de Chebyshev	Regla empírica
2	al menos 75 %	≈ 95 %
3	al menos 88,9 %	≈ 99,7 %
4	al menos 93,75 %	≈ 99,99 %

La diferencia es enorme, y es el precio de no suponer nada. Chebyshev vale para una distribución asimétrica, bimodal o con la forma que sea — pero por eso su garantía es floja.

Fijate que para $k = 1$ la fórmula da cero: no garantiza nada. Es correcto — existen distribuciones donde casi ningún dato cae dentro de un desvío.

4 · Un ejemplo con datos reales

Acá se ve por qué importa la aclaración “si la distribución es normal”. Con dos variables de la EPH del primer trimestre de 2026:

Intervalo	Ingreso	Edad	Regla empírica	Chebyshev
$\pm 1s$	90,6 %	61,7 %	≈ 68 %	—
$\pm 2s$	96,8 %	97,5 %	≈ 95 %	≥ 75 %
$\pm 3s$	98,4 %	100,0 %	≈ 99,7 %	≥ 88,9 %

El ingreso se aparta muchísimo. Dentro de un desvío hay un 90,6 % de los casos, no un 68 %. La razón es la cola larga: unos pocos ingresos altísimos inflan el desvío estándar, y ese desvío inflado termina cubriendo a casi toda la población. Al mismo tiempo, a tres desvíos todavía queda afuera un 1,6 % —contra el 0,3 % que predice la regla—, porque la cola sigue.

La edad se porta mejor pero tampoco cumple. A un desvío hay 61,7 %, algo menos del 68 % esperado.

Y las dos, como no podía ser de otro modo, cumplen Chebyshev con holgura.

5 · Cómo usarlas

La regla empírica, como chequeo rápido: calculá qué porcentaje de tus datos cae dentro de un desvío. Si da bastante más o bastante menos que 68 %, la distribución no es normal y conviene mirar el histograma antes de seguir.

Chebyshev, cuando hay que afirmar algo sin suponer normalidad. Es raro en la práctica descriptiva, pero es la base teórica de varios resultados posteriores — entre ellos la ley de los grandes números.

6 · Errores frecuentes

• Aplicar la regla empírica sin verificar la forma. Es el error central. La regla es una propiedad de la distribución normal, no de los datos.
• Usar $\bar{x} \pm 2s$ como criterio de atípico en distribuciones asimétricas. Produce resultados absurdos: con el ingreso, el límite inferior da negativo. La regla del rango intercuartílico es más adecuada.
• Creer que Chebyshev da la proporción exacta. Da una cota inferior: “al menos”. La proporción real casi siempre es mayor.
• Usar Chebyshev con $k \le 1$. No aporta nada: la cota es cero o negativa.
• Confundir la regla empírica con la definición de normalidad. Que se cumpla no prueba que la distribución sea normal; que no se cumpla sí es evidencia de que no lo es.

7 · Cómo verificarlo

# R — qué proporción cae dentro de k desvíos
cobertura <- function(x, k) {
  m <- mean(x); s <- sd(x)
  100 * mean(abs(x - m) <= k * s)
}
sapply(1:3, function(k) cobertura(datos$edad, k))

# Python
def cobertura(x, k):
    m, s = x.mean(), x.std()
    return 100 * ((x - m).abs() <= k * s).mean()

[cobertura(datos["edad"], k) for k in (1, 2, 3)]

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