Covarianza

1 · Definición

La covarianza mide en qué medida dos variables se apartan juntas de sus respectivas medias:

$$s_{xy} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n-1}$$

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2 · Cómo se lee el signo

Cada caso aporta el producto de sus dos desvíos:

Caso	$x - \bar{x}$	$y - \bar{y}$	Producto
Alto en las dos	+	+	+
Bajo en las dos	−	−	+
Alto en una, bajo en otra	+	−	−

Si predominan los casos que van en el mismo sentido, la suma da positiva.

Signo	Significa
$s_{xy} > 0$	tienden a subir juntas
$s_{xy} < 0$	cuando una sube, la otra baja
$s_{xy} \approx 0$	no hay relación lineal

3 · El problema de la magnitud

La covarianza entre horas trabajadas e ingreso mensual, en la EPH, vale 4.107.509.

¿Eso es mucho? No se puede saber. La covarianza está en unidades de $x$ por unidades de $y$ —acá “horas × pesos”—, así que su magnitud depende por completo de las escalas:

• Si el ingreso se midiera en miles de pesos, la covarianza sería 4.107,5.
• Si las horas fueran mensuales en vez de semanales, se multiplicaría por 4,33.

$$r = \frac{s_{xy}}{s_x \, s_y}$$

4 · Sus propiedades

Tres reglas explican tanto su utilidad como su defecto:

Propiedad	Qué dice
$\mathrm{Cov}(X, X) = \mathrm{Var}(X)$	La varianza es un caso particular
$\mathrm{Cov}(X, Y) = \mathrm{Cov}(Y, X)$	Es simétrica: no hay causa ni efecto en la fórmula
$\mathrm{Cov}(aX+b,\; cY+d) = ac \cdot \mathrm{Cov}(X,Y)$	Sumar constantes no la cambia; multiplicar la escala

La tercera es la que condena a la magnitud: cambiar de pesos a miles de pesos divide la covarianza por mil sin que la relación haya cambiado en nada.

5 · Covarianza cero no es independencia

Es el malentendido más caro del tema, y se desarma con siete números. Tomando $x$ de −3 a 3 y $y = x^2$:

$x$	−3	−2	−1	0	1	2	3
$y$	9	4	1	0	1	4	9

La covarianza da exactamente cero, y sin embargo $y$ está completamente determinada por $x$: conociendo una se sabe la otra sin ningún error.

La implicación va en un solo sentido: si dos variables son independientes, su covarianza es cero; al revés no vale. Y es otra razón para graficar antes de calcular.

6 · Dónde sigue apareciendo

Aunque no se la use para describir, la covarianza es una pieza estructural:

• La varianza de una suma: $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\,\text{Cov}(X,Y)$. Si son independientes el término desaparece, y de ahí sale que el error estándar sea $\sigma/\sqrt{n}$.
• La pendiente de la recta de mínimos cuadrados es $b_1 = s_{xy}/s_x^2$.
• La matriz de varianzas y covarianzas es el objeto central de todo el análisis multivariado: componentes principales, análisis factorial, regresión múltiple.
• En finanzas, la covarianza entre activos es lo que determina si una cartera diversifica riesgo.

7 · Errores frecuentes

• Interpretar la magnitud. Sin conocer las escalas no significa nada.
• Comparar covarianzas de pares distintos.
• Concluir independencia de una covarianza nula. Solo indica ausencia de relación lineal: una relación en forma de U puede tener covarianza cero.
• Calcularla con la fórmula abreviada sobre números grandes. Igual que con la varianza, restar dos sumas parecidas destruye las cifras significativas.
• Olvidar el $n-1$ en la versión muestral.
• Confundirla con la correlación.
• Concluir causalidad por el signo. La fórmula es simétrica: no distingue cuál variable sería la causa.

8 · En el software

# R
cov(horas, ingreso)          # 4107509
cor(horas, ingreso)          # 0.249  la versión estandarizada

cov(datos)                   # matriz de covarianzas
var(x)                       # = cov(x, x)

# Python
import numpy as np
np.cov(horas, ingreso, ddof=1)[0, 1]
np.corrcoef(horas, ingreso)[0, 1]

Excel:    =COVARIANZA.M(rango1; rango2)    muestral, divide por n-1
          =COVARIANZA.P(rango1; rango2)    poblacional, divide por n

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