IC para la varianza

1 · La fórmula

$$\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\; n-1}} \;,\; \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\; n-1}} \right)$$

Para el desvío estándar se toma la raíz de los dos extremos.

2 · Por qué es asimétrico

Porque la varianza no puede ser negativa y su distribución muestral es asimétrica a la derecha. La distribución chi-cuadrado refleja esa forma.

En la práctica: el intervalo se extiende más hacia arriba que hacia abajo. Y la asimetría es mayor cuanto más chica es la muestra.

Por eso no se puede escribir como “estimación ± margen”: hay que dar los dos extremos.

Cuánto, exactamente

Los dos límites son múltiplos fijos de $s^2$ que solo dependen de $n$, así que se pueden tabular de una vez:

$n$	Límites para $\sigma^2$	Cociente	Límites para $\sigma$
5	0,36 · $s^2$ a 8,26 · $s^2$	23	0,60 · $s$ a 2,87 · $s$
10	0,47 a 3,33	7,0	0,69 a 1,83
30	0,63 a 1,81	2,8	0,80 a 1,34
100	0,77 a 1,35	1,8	0,88 a 1,16
500	0,89 a 1,14	1,3	0,94 a 1,07

3 · Para qué sirve

Es el menos usado de los intervalos del módulo, y tiene tres aplicaciones concretas:

Control de calidad. La variabilidad de un proceso suele importar más que su media: un proceso centrado pero errático produce más piezas fuera de norma que uno levemente descentrado y estable.

Confiabilidad de instrumentos. La dispersión de mediciones repetidas es justamente lo que se quiere estimar.

Planificación de estudios. Para calcular un tamaño de muestra hace falta una estimación de $\sigma$, y su intervalo dice cuán confiable es esa estimación.

4 · Muy sensible a la normalidad

Es la advertencia más importante de esta entrada.

Mientras que los intervalos para la media están protegidos por el teorema central del límite —y por eso toleran bastante desvío de la normalidad—, el intervalo para la varianza no tiene esa protección.

Eso lo distingue de todo lo demás del módulo: acá un $n$ grande no salva. Con colas pesadas —como el ingreso, con curtosis 95,5— el intervalo es directamente poco confiable. La medición está en distribución chi-cuadrado: con datos exponenciales, el intervalo del 95 % cubre el 73 % con $n = 20$ y el 67 % con $n = 1.000$.

¿Y el bootstrap arregla esto?

Es la alternativa que suele recomendarse, incluida esta entrada hasta ahora, y la respuesta merece un matiz. Cobertura medida con 3.000 muestras y 800 remuestreos cada una:

Población	$n$	Chi-cuadrado	Bootstrap percentil
Normal	30	95,20 %	88,37 %
Normal	100	95,00 %	92,20 %
Exponencial	30	71,53 %	74,10 %
Exponencial	100	70,20 %	86,90 %
t de 5 gl	100	79,33 %	86,70 %

También existen métodos robustos de estimación de escala, que estiman una dispersión menos sensible a las colas en lugar de intentar arreglar el intervalo de $\sigma^2$.

5 · El procedimiento

Paso 1. Verificá la normalidad. En serio: no es opcional acá.

Paso 2. Calculá $s^2$ y los grados de libertad $n-1$.

Paso 3. Buscá los dos valores críticos de chi-cuadrado en la tabla chi-cuadrado, en la fila de los $n-1$ grados de libertad. Las columnas de esa tabla son el área de la cola derecha: para el 95 % se leen la de 0,025, que da el valor mayor, y la de 0,975, que da el menor. Con 9 grados de libertad, por ejemplo, son 19,023 y 2,700. Ojo con el orden: el valor mayor va en el denominador del límite inferior. Cómo leer la tabla está en uso de tablas de distribución, y en el software se obtienen con las funciones de la sección 7.

Paso 4. Armá el intervalo, y sacá raíz si querés el del desvío.

6 · Errores frecuentes

• Construirlo como simétrico. No lo es.
• Invertir los valores críticos. El error de cálculo más común: produce un intervalo al revés, con el límite inferior mayor que el superior.
• Usarlo sin verificar normalidad. Es el error conceptual grave, y no se arregla con más casos.
• Sacar la raíz del intervalo y llamarlo “IC de la varianza”. La raíz da el intervalo del desvío estándar.
• Confundir grados de libertad. Son $n-1$.
• Informar solo la estimación puntual de la varianza. Con muestras chicas es muy imprecisa: con cinco datos, el intervalo va de un tercio a ocho veces el valor observado.
• Recurrir al bootstrap por reflejo. Ayuda con datos no normales y muestras medianas, y empeora las cosas si los datos son normales.

7 · En el software

# R — no hay función incorporada
ic_var <- function(x, conf = 0.95) {
  n <- length(x); s2 <- var(x); gl <- n - 1
  a <- (1 - conf) / 2
  c(gl * s2 / qchisq(1 - a, gl),   # límite inferior: cuantil MAYOR
    gl * s2 / qchisq(a, gl))       # límite superior: cuantil MENOR
}
sqrt(ic_var(x))      # para el desvío estándar

# Python
from scipy import stats
import numpy as np
n = len(x); s2 = np.var(x, ddof=1); gl = n - 1
li = gl * s2 / stats.chi2.ppf(0.975, gl)
ls = gl * s2 / stats.chi2.ppf(0.025, gl)

Excel:    =(n-1)*VAR.M(rango)/INV.CHICUAD.CD(0,025; n-1)   límite inferior
          =(n-1)*VAR.M(rango)/INV.CHICUAD.CD(0,975; n-1)   límite superior

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