Independencia de eventos

1 · Definición

Dos eventos son independientes si saber que uno ocurrió no cambia la probabilidad del otro:

$$P(A \mid B) = P(A)$$

Equivalentemente, y es la forma que más se usa por ser simétrica:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

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2 · Cómo se verifica: las cuatro celdas

Se compara la conjunta observada con el producto de las marginales, y hay que hacerlo en todas las celdas, no en una:

Celda	Observado	Esperado si fueran independientes	Razón
Sin secundario, no registrado	0,1494	0,0954	1,57
Sin secundario, registrado	0,1042	0,1581	0,66
Con secundario, no registrado	0,2271	0,2810	0,81
Con secundario, registrado	0,5194	0,4655	1,12

3 · Independientes no es excluyentes

Vale repetirlo porque es la confusión más persistente del módulo:

	Excluyentes	Independientes
$P(A \cap B)$	$= 0$	$= P(A)P(B)$
Si ocurre $A$	$B$ es imposible	$B$ no cambia
Regla	se suman	se multiplican

Dos eventos excluyentes con probabilidad positiva son el caso más dependiente posible: uno determina por completo al otro.

4 · Independencia de a pares no alcanza

Para más de dos eventos, la definición exige que el producto se cumpla para todos los subconjuntos, no solo para los pares:

$$P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$$

y además las tres igualdades de a pares. Que una cosa no implique la otra se ve en un ejemplo mínimo. Se tiran dos monedas y se definen:

$$A = \text{la primera sale cara} \quad B = \text{la segunda sale cara} \quad C = \text{las dos coinciden}$$

Par	Conjunta	Producto
$A$ y $B$	0,25	0,25	independientes
$A$ y $C$	0,25	0,25	independientes
$B$ y $C$	0,25	0,25	independientes
Los tres	0,25	0,125	no

5 · El supuesto más frágil de la Estadística

Casi todas las fórmulas del curso —el error estándar $\sigma/\sqrt{n}$, la binomial, la prueba t, la regresión— suponen observaciones independientes. Y es el supuesto que más se viola en la práctica:

• Personas del mismo hogar. Comparten ingreso, barrio y hábitos: sus datos no son independientes.
• Mediciones repetidas del mismo sujeto.
• Alumnos del mismo curso, pacientes del mismo hospital. El efecto del docente o del servicio los vuelve parecidos entre sí.
• Series de tiempo. El valor de un mes está correlacionado con el anterior.
• Muestreo por conglomerados. Que es justamente el diseño de la EPH.

Cuánto, en la propia EPH: remuestreando viviendas completas en lugar de personas sueltas, los errores estándar reales resultan 2,2 veces los que dan las fórmulas simples, con efectos de diseño de 3,4 a 5,0 según el indicador. Un intervalo calculado como si las observaciones fueran independientes tiene la mitad del ancho que le corresponde. Ver el efecto de diseño.

La solución no es ignorarlo: hay modelos —mixtos, ecuaciones de estimación generalizadas, errores estándar robustos por conglomerado— construidos precisamente para eso.

6 · Errores frecuentes

• Confundir independiente con excluyente.
• Multiplicar probabilidades de eventos dependientes. Corresponde la regla del producto general, con la condicional.
• Suponer independencia por defecto. Es un supuesto fuerte: hay que justificarlo con el diseño del estudio.
• Creer que “no correlacionados” implica independientes. La correlación solo mide relación lineal.
• Verificar la independencia en una sola celda de la tabla. Tiene que cumplirse en todas.
• Verificar solo los pares cuando hay tres o más eventos.
• Tratar como independientes a personas del mismo hogar o del mismo curso.

7 · En el software

# R — comparar observado con esperado bajo independencia
tab <- table(educacion, registrado)
esperado <- outer(rowSums(tab), colSums(tab)) / sum(tab)
tab - esperado           # las diferencias
tab / esperado           # las razones: cuánto sobra o falta en cada celda

chisq.test(tab)          # la prueba formal
chisq.test(tab)$expected  # las frecuencias esperadas

# Python
from scipy import stats
chi2, p, gl, esperado = stats.chi2_contingency(tab)
tab / esperado

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