Chi-cuadrado de independencia

1 · Qué contrasta

Si dos variables categóricas son independientes en la población.

$$H_0: \text{las variables son independientes} \qquad H_1: \text{están asociadas}$$ $$\chi^{2} = \sum \frac{(O - E)^{2}}{E} \qquad gl = (f-1)(c-1)$$

2 · Las frecuencias esperadas

$$E_{ij} = \frac{(\text{total fila } i) \times (\text{total columna } j)}{n}$$

Es exactamente $n \times p_i \times p_j$: la probabilidad conjunta bajo independencia, multiplicada por el total.

3 · Un ejemplo completo

¿El nivel educativo y la registración del empleo están asociados entre los asalariados de la EPH?

Observado:

	No registrado	Registrado	Total
Hasta sec. incompleto	2.045	1.472	3.517
Secundario completo+	3.140	7.207	10.347
Total	5.185	8.679	13.864

Esperado bajo independencia —por ejemplo, la primera celda es $3.517 \times 5.185 / 13.864$—:

	No registrado	Registrado
Hasta sec. incompleto	1.315,3	2.201,7
Secundario completo+	3.869,7	6.477,3

El estadístico:

$$\chi^{2} = 866{,}4 \qquad gl = (2-1)(2-1) = 1 \qquad p < 0{,}001$$

Se rechaza: hay asociación. El valor crítico con 1 gl es 3,841, muy lejos.

4 · El chi-cuadrado no mide intensidad

Este es el punto que más se descuida. El estadístico crece con el $n$: los mismos porcentajes en una muestra diez veces más grande dan un chi-cuadrado diez veces mayor.

Por eso hay que acompañarlo siempre de una medida de intensidad:

Medida	Valor acá	Rango
V de Cramér	0,250	0 a 1
Phi (solo 2×2)	0,250	0 a 1
Odds ratio	3,19	0 a ∞

5 · Las condiciones

Todas las esperadas $\ge 5$ —o al menos el 80 % de las celdas, con ninguna menor a 1—.

Conteos absolutos, nunca porcentajes.

Observaciones independientes: cada persona aparece en una sola celda. Si son mediciones repetidas del mismo sujeto, va McNemar.

Si las esperadas son chicas, corresponde la prueba exacta de Fisher.

6 · Qué significa rechazar

Que las variables están asociadas. Nada más:

• No dice cuál causa a cuál. La educación podría facilitar el empleo registrado, o podría haber variables comunes —edad, sector, región— que expliquen las dos. Ver correlación y causalidad.
• No dice dónde está la asociación. En tablas grandes, conviene mirar los residuos estandarizados de cada celda: los mayores a 2 en valor absoluto señalan las celdas que más contribuyen.
• No dice cuán fuerte es. Para eso, V de Cramér.

7 · Errores frecuentes

• Calcularlo sobre porcentajes en lugar de conteos.
• Errar los grados de libertad. Son $(f-1)(c-1)$.
• Reportarlo sin medida de asociación. Un chi-cuadrado grande con $n$ grande puede ser una asociación trivial.
• Aplicarlo con esperadas chicas.
• Usarlo con datos apareados. Va McNemar.
• Concluir causalidad.
• Hacerlo bilateral. Es unilateral por derecha por construcción.

8 · En el software

# R
tabla <- matrix(c(2045, 3140, 1472, 7207), nrow = 2)
chisq.test(tabla, correct = FALSE)      # X² = 866.41, df = 1, p < 2.2e-16

chisq.test(tabla)$expected              # verificar esperadas
chisq.test(tabla)$stdres                # residuos estandarizados
rcompanion::cramerV(tabla)              # V de Cramér

# Python
from scipy import stats
import numpy as np
chi2, p, gl, esperado = stats.chi2_contingency(tabla, correction=False)
V = np.sqrt(chi2 / (tabla.sum() * (min(tabla.shape) - 1)))

SPSS:     Analizar › Estadísticos descriptivos › Tablas cruzadas
          Estadísticos: Chi-cuadrado, Phi y V de Cramér
          Casillas: Recuentos esperados y Residuos tipificados corregidos

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
  title        = {{Chi-cuadrado de independencia}},
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