Chi-cuadrado de independencia

1 · Qué contrasta

Si dos variables categóricas son independientes en la población.

$$H_0: \text{las variables son independientes} \qquad H_1: \text{están asociadas}$$ $$\chi^{2} = \sum \frac{(O - E)^{2}}{E} \qquad gl = (f-1)(c-1)$$

2 · Las frecuencias esperadas

$$E_{ij} = \frac{(\text{total fila } i) \times (\text{total columna } j)}{n}$$

Es exactamente $n \times p_i \times p_j$: la probabilidad conjunta bajo independencia, multiplicada por el total.

3 · Un ejemplo completo

¿El nivel educativo y la registración del empleo están asociados entre los asalariados de la EPH?

Observado:

	No registrado	Registrado	Total
Hasta sec. incompleto	2.045	1.472	3.517
Secundario completo+	3.140	7.207	10.347
Total	5.185	8.679	13.864

Esperado bajo independencia —por ejemplo, la primera celda es $3.517 \times 5.185 / 13.864$—:

	No registrado	Registrado
Hasta sec. incompleto	1.315,3	2.201,7
Secundario completo+	3.869,7	6.477,3

El estadístico:

$$\chi^{2} = 866{,}4 \qquad gl = (2-1)(2-1) = 1 \qquad p < 0{,}001$$

Se rechaza: hay asociación. El valor crítico con 1 gl es 3,841, muy lejos.

4 · El chi-cuadrado no mide intensidad

Este es el punto que más se descuida. El estadístico crece con el $n$: los mismos porcentajes en una muestra diez veces más grande dan un chi-cuadrado diez veces mayor. Con la tabla del ejemplo, reescalada sin tocar un solo porcentaje:

$n$	$\chi^{2}$	$p$	V de Cramér	Odds ratio
1.386	86,6	$10^{-20}$	0,250	3,19
3.466	216,6	$10^{-49}$	0,250	3,19
13.864	866,4	$10^{-190}$	0,250	3,19
27.728	1.732,8	$< 10^{-300}$	0,250	3,19
138.640	8.664,1	$< 10^{-300}$	0,250	3,19

Por eso hay que acompañarlo siempre de una medida de intensidad:

Medida	Valor acá	Rango
V de Cramér	0,250	0 a 1
Phi (solo 2×2)	0,250	0 a 1
Odds ratio	3,19	0 a ∞

5 · Las condiciones

Todas las esperadas $\ge 5$ —o al menos el 80 % de las celdas, con ninguna menor a 1—.

Conteos absolutos, nunca porcentajes.

Observaciones independientes: cada persona aparece en una sola celda. Si son mediciones repetidas del mismo sujeto, va McNemar.

Si las esperadas son chicas, corresponde la prueba exacta de Fisher.

Cuán conservadora es Yates, y la sorpresa con Fisher

Con tablas chicas la diferencia deja de ser irrelevante. Acá está el $\alpha$ real de las tres opciones, calculado exacto —sumando sobre todas las tablas posibles bajo independencia, con dos muestras binomiales independientes— cuando el nominal es 5 %:

$n_1$, $n_2$	$p$	Sin Yates	Con Yates	Fisher
10, 10	0,5	0,0422	0,0128	0,0128
10, 10	0,2	0,0299	0,0076	0,0076
20, 20	0,5	0,0425	0,0175	0,0204
30, 30	0,5	0,0519	0,0274	0,0274
50, 50	0,5	0,0569	0,0352	0,0352
100, 100	0,5	0,0560	0,0400	0,0400

6 · Qué significa rechazar

Que las variables están asociadas. Nada más:

• No dice cuál causa a cuál. La educación podría facilitar el empleo registrado, o podría haber variables comunes —edad, sector, región— que expliquen las dos. Ver correlación y causalidad.
• No dice dónde está la asociación. En tablas grandes, conviene mirar los residuos estandarizados de cada celda: los mayores a 2 en valor absoluto señalan las celdas que más contribuyen.
• No dice cuán fuerte es. Para eso, V de Cramér.

Lo que la tabla 2×2 estaba escondiendo

La tabla del ejemplo agrupó los seis niveles educativos en dos. Sin agrupar:

Nivel educativo	No reg.	Registrado	% reg.	Residuo	Aporte al $\chi^2$
Primario incompleto	166	98	37,1	−8,6	73
Primario completo	733	599	45,0	−14,0	177
Secundario incompleto	1.146	775	40,3	−21,7	407
Secundario completo	1.858	2.871	60,7	−3,3	7
Superior incompleto	758	1.229	61,9	−0,8	0,5
Superior completo	524	3.107	85,6	+33,3	818

$$\chi^{2} = 1.482{,}4 \qquad gl = 5 \qquad V = 0{,}327$$

7 · Errores frecuentes

• Calcularlo sobre porcentajes en lugar de conteos.
• Errar los grados de libertad. Son $(f-1)(c-1)$.
• Reportarlo sin medida de asociación. Un chi-cuadrado grande con $n$ grande puede ser una asociación trivial.
• Aplicarlo con esperadas chicas.
• Agrupar categorías sin necesidad. Pasar de la tabla 6×2 a la 2×2 baja la V de Cramér de 0,327 a 0,250 y esconde que la relación no es monótona.
• Confiar en que Fisher arregla el nivel. Con diez casos por grupo su $\alpha$ real puede ser del 0,76 %.
• Usarlo con datos apareados. Va McNemar.
• Concluir causalidad.
• Hacerlo bilateral. Es unilateral por derecha por construcción.

8 · En el software

# R
tabla <- matrix(c(2045, 3140, 1472, 7207), nrow = 2)
chisq.test(tabla, correct = FALSE)      # X² = 866.41, df = 1, p < 2.2e-16

chisq.test(tabla)$expected              # verificar esperadas
chisq.test(tabla)$stdres                # residuos estandarizados
rcompanion::cramerV(tabla)              # V de Cramér

# Python
from scipy import stats
import numpy as np
chi2, p, gl, esperado = stats.chi2_contingency(tabla, correction=False)
V = np.sqrt(chi2 / (tabla.sum() * (min(tabla.shape) - 1)))

SPSS:     Analizar › Estadísticos descriptivos › Tablas cruzadas
          Estadísticos: Chi-cuadrado, Phi y V de Cramér
          Casillas: Recuentos esperados y Residuos tipificados corregidos

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
  title        = {{Chi-cuadrado de independencia}},
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  note         = {estadistica.ar. Consultado el \today},
  urldate      = {2026-09-26}
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