Eventos mutuamente excluyentes

1 · Definición

Dos eventos son mutuamente excluyentes —o disjuntos, o incompatibles— si no pueden ocurrir a la vez:

$$A \cap B = \varnothing \qquad\text{equivalentemente}\qquad P(A \cap B) = 0$$

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2 · Ejemplos

Par de eventos	¿Excluyentes?
En un dado: “sale par” y “sale 3”	Sí
En un dado: “sale par” y “sale mayor a 4”	No: el 6 cumple los dos
Una persona: “tiene 25 años” y “tiene 40 años”	Sí
Una persona: “es mujer” y “está ocupada”	No
Un evento y su complemento	Sí, siempre

El patrón: las categorías de una misma variable son excluyentes entre sí —nadie puede estar en dos categorías del nivel educativo—, mientras que eventos de variables distintas en general no lo son.

3 · Por qué importa

Porque simplifica la regla de la suma. En general:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

pero si son excluyentes, la intersección vale cero y queda:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Es el axioma 3 de Kolmogórov. Sumar directamente cuando los eventos no son excluyentes cuenta dos veces la zona compartida e infla el resultado —a veces por encima de 1, que es cuando el error se hace visible—.

4 · Excluyentes no es lo mismo que independientes

Es la confusión más persistente de todo el módulo, y conviene fijarla:

	Mutuamente excluyentes	Independientes
Definición	$P(A \cap B) = 0$	$P(A \cap B) = P(A)P(B)$
Se usa con	la suma	el producto
Si ocurre $A$…	$B$ es imposible	$B$ no cambia
Diagrama	círculos separados	círculos superpuestos

La comprobación formal: si fueran las dos cosas, $P(A)P(B) = P(A \cap B) = 0$, lo que obliga a que alguna de las dos probabilidades sea nula.

5 · Las dos preguntas, con una sola cuenta

Las dos definiciones se chequean sobre el mismo número, y conviene verlo una vez. Con $A$ = “terminó el secundario” y $B$ = “tiene empleo registrado”:

Pregunta	Cuenta	Resultado
¿Son excluyentes?	¿$P(A \cap B) = 0$?	0,5194 → no
¿Son independientes?	¿$P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$?	0,5194 contra 0,4655 → no

Y es el caso habitual: la mayoría de los pares de eventos de la vida real no son ni excluyentes ni independientes. Las dos propiedades son casos límite, y el error de asumir cualquiera de las dos sin verificar es el mismo error.

6 · Cómo reconocerlos en un enunciado

La pregunta a hacerse es literal: ¿pueden pasar las dos cosas en la misma repetición del experimento?

• “Sale cara o ceca en un tiro” → no pueden las dos → excluyentes.
• “La primera moneda sale cara y la segunda ceca” → son dos tiros distintos → no son excluyentes, y probablemente sean independientes.

7 · Eventos exhaustivos y particiones

Un conjunto de eventos es exhaustivo si entre todos cubren $\Omega$: alguno tiene que ocurrir.

Cuando son a la vez excluyentes y exhaustivos forman una partición, y sus probabilidades suman exactamente 1. Las categorías de la condición de actividad de la EPH, sobre la población total:

Categoría	Probabilidad
Ocupado	0,4476
Desocupado	0,0380
Inactivo	0,3808
Menor de 10 años	0,1300
Entrevista no realizada	0,0036
Total	1,0000

Las particiones son, además, lo que hace funcionar al teorema de la probabilidad total.

8 · Errores frecuentes

• Confundir excluyentes con independientes. El error número uno.
• Sumar sin restar la intersección cuando los eventos se superponen.
• Creer que “no relacionados” significa excluyentes. Suele significar lo contrario: independientes.
• Suponer que un conjunto de eventos es exhaustivo sin verificar que cubra todos los casos.
• Dar por sentada alguna de las dos propiedades. Lo normal es que un par de eventos no sea ni excluyente ni independiente.
• Aplicar la fórmula sin dibujar. Un Venn de dos círculos resuelve la duda en segundos.

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