Eventos mutuamente excluyentes

1 · Definición

Dos eventos son mutuamente excluyentes —o disjuntos, o incompatibles— si no pueden ocurrir a la vez:

$$A \cap B = \varnothing \qquad\text{equivalentemente}\qquad P(A \cap B) = 0$$

2 · Ejemplos

Par de eventos	¿Excluyentes?
En un dado: “sale par” y “sale 3”	Sí
En un dado: “sale par” y “sale mayor a 4”	No: el 6 cumple los dos
Una persona: “tiene 25 años” y “tiene 40 años”	Sí
Una persona: “es mujer” y “está ocupada”	No
Un evento y su complemento	Sí, siempre

El patrón: las categorías de una misma variable son excluyentes entre sí —nadie puede estar en dos categorías del nivel educativo—, mientras que eventos de variables distintas en general no lo son.

3 · Por qué importa

Porque simplifica la regla de la suma. En general:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

pero si son excluyentes, la intersección vale cero y queda:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Es el axioma 3 de Kolmogórov. Sumar directamente cuando los eventos no son excluyentes cuenta dos veces la zona compartida e infla el resultado —a veces por encima de 1, que es cuando el error se hace visible—.

4 · Excluyentes no es lo mismo que independientes

Es la confusión más persistente de todo el módulo, y conviene fijarla:

	Mutuamente excluyentes	Independientes
Definición	$P(A \cap B) = 0$	$P(A \cap B) = P(A)P(B)$
Se usa con	la suma	el producto
Si ocurre $A$…	$B$ es imposible	$B$ no cambia
Diagrama	círculos separados	círculos superpuestos

La comprobación formal: si fueran las dos cosas, $P(A)P(B) = P(A \cap B) = 0$, lo que obliga a que alguna de las dos probabilidades sea nula.

5 · Cómo reconocerlos en un enunciado

La pregunta a hacerse es literal: ¿pueden pasar las dos cosas en la misma repetición del experimento?

• “Sale cara o ceca en un tiro” → no pueden las dos → excluyentes.
• “La primera moneda sale cara y la segunda ceca” → son dos tiros distintos → no son excluyentes, y probablemente sean independientes.

6 · Eventos exhaustivos y particiones

Un conjunto de eventos es exhaustivo si entre todos cubren $\Omega$: alguno tiene que ocurrir.

Cuando son a la vez excluyentes y exhaustivos forman una partición, y sus probabilidades suman exactamente 1. Las categorías de cualquier variable bien construida —las de una encuesta, por ejemplo— son una partición, y esa es la razón por la que los porcentajes de una tabla de frecuencias tienen que dar 100.

Las particiones son, además, lo que hace funcionar al teorema de la probabilidad total.

7 · Errores frecuentes

• Confundir excluyentes con independientes. El error número uno.
• Sumar sin restar la intersección cuando los eventos se superponen.
• Creer que “no relacionados” significa excluyentes. Suele significar lo contrario: independientes.
• Suponer que un conjunto de eventos es exhaustivo sin verificar que cubra todos los casos. Las categorías “ocupado” y “desocupado” no cubren a la población: falta la inactiva.
• Aplicar la fórmula sin dibujar. Un Venn de dos círculos resuelve la duda en segundos.

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