Variables aleatorias conjuntas

1 · Definición

Cuando se observan dos variables aleatorias sobre la misma unidad —el ingreso y la edad de una persona, el peso y la talla de un recién nacido— su comportamiento conjunto se describe con la función de probabilidad conjunta:

$$p(x, y) = P(X = x,\; Y = y)$$

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2 · Un ejemplo para tener a mano

Entre los asalariados de 18 años o más de la EPH, se observan a la vez el nivel educativo ($X$: 1 = hasta secundario incompleto, 2 = secundario completo o más) y la registración del empleo ($Y$: 0 = no registrado, 1 = registrado). Las probabilidades conjuntas:

	$Y=0$	$Y=1$	Marginal de $X$
$X=1$	0,1494	0,1042	0,2535
$X=2$	0,2271	0,5194	0,7465
Marginal de $Y$	0,3764	0,6236	1,0000

3 · Marginales: sumar por filas y por columnas

La distribución marginal de una variable se obtiene sumando la conjunta sobre todos los valores de la otra:

$$p_X(x) = \sum_y p(x,y)$$ $$p_Y(y) = \sum_x p(x,y)$$

Son las que están en los bordes de la tabla —de ahí el nombre— y describen a cada variable ignorando a la otra.

4 · Condicionales: dividir por la marginal

$$p(y \mid x) = \frac{p(x,y)}{p_X(x)}$$

En el ejemplo, la probabilidad de tener empleo registrado dado que se completó el secundario:

$$p(Y=1 \mid X=2) = \frac{0{,}5194}{0{,}7465} = 0{,}6958$$

frente a $0{,}1042/0{,}2535 = 0{,}4109$ entre quienes no lo completaron. La diferencia entre esos dos números —70 % contra 41 %— es toda la información que la tabla aporta sobre la relación entre educación y registración.

La misma tabla se lee también al revés, condicionando por columna:

$$p(X=2 \mid Y=1) = \frac{0{,}5194}{0{,}6236} = 0{,}8330$$

5 · Independencia

Dos variables son independientes si la conjunta es el producto de las marginales, para todos los pares de valores:

$$p(x,y) = p_X(x)\, p_Y(y) \quad \text{para todo } x, y$$

En el ejemplo, si fueran independientes la primera celda debería valer $0{,}2535 \times 0{,}3764 = 0{,}0954$, y vale 0,1494 —un 57 % más—. No lo son.

Cuánto no lo son, en tres medidas que dicen cosas distintas sobre la misma tabla:

Medida	Valor	Cómo se lee
Diferencia de proporciones	0,285	28,5 puntos porcentuales de más
Razón de momios	3,28	odds de 2,29 contra 0,70
Coeficiente $\varphi$	0,256	la correlación entre las dos

Si son independientes, además, las condicionales coinciden con las marginales: saber una variable no cambia nada sobre la otra.

6 · Esperanza, covarianza y sumas

La esperanza de una suma siempre se suma, haya o no independencia:

$$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$$

La varianza de una suma, en cambio, tiene un término extra:

$$\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\,\text{Cov}(X,Y)$$

donde la covarianza es

$$\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$$

Si $X$ e $Y$ son independientes, $\text{Cov}(X,Y) = 0$ y las varianzas se suman sin más. Esa es la propiedad que sostiene todo el resto del curso: es la razón por la que el error estándar de la media es $\sigma/\sqrt{n}$, y por la que la varianza de una binomial es $np(1-p)$.

7 · Cuando las observaciones no son independientes

La sección anterior dice que la independencia es lo que sostiene $\sigma/\sqrt{n}$. Conviene ver qué pasa cuando falta. Si $n$ observaciones tienen la misma varianza y una correlación común $\rho$ entre sí, el término de covarianza aparece $n(n-1)$ veces y queda:

$$\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^{2}}{n}\bigl[1 + (n-1)\rho\bigr]$$

$n$	$\rho$	Factor	El error estándar ingenuo subestima
10	0,00	1,00	—
10	0,05	1,45	20 %
10	0,20	2,80	67 %
30	0,05	2,45	57 %
100	0,02	2,98	73 %

Es exactamente el efecto de diseño del muestreo por conglomerados: si se releva a diez hogares de la misma manzana, sus respuestas se parecen entre sí y el tamaño efectivo de la muestra es menor que el nominal. En la EPH ese efecto está entre 1,85 y 2,23 según el indicador, o sea que mil casos rinden como 450 a 540.

8 · Errores frecuentes

• Confundir conjunta con condicional. $P(X=1, Y=1)$ y $P(Y=1 \mid X=1)$ son cosas distintas: la primera se lee en la celda, la segunda divide por la marginal.
• Invertir el condicionamiento. $P(Y \mid X) \ne P(X \mid Y)$; es el error que corrige el teorema de Bayes.
• Verificar la independencia en una sola celda. Tiene que cumplirse en todas.
• Deducir independencia de una covarianza nula.
• Sumar varianzas con variables correlacionadas. Falta el término de covarianza.
• Leer los porcentajes en la dirección equivocada. Condicionar por fila o por columna responde preguntas distintas: acá, 0,6958 y 0,8330 de la misma celda.
• Usar $\sigma/\sqrt{n}$ con datos agrupados o en serie. Una correlación de 0,02 con $n = 100$ ya subestima el error estándar un 73 %.

9 · En el software

# R — conjunta y marginales a partir de datos
tabla <- table(educacion, registrado)
conjunta <- prop.table(tabla)          # conjunta
margin.table(conjunta, 1)              # marginal de filas
prop.table(tabla, 1)                   # condicionales por fila

cov(x, y); cor(x, y)

# Python
import pandas as pd
conjunta = pd.crosstab(educacion, registrado, normalize=True)
conjunta.sum(axis=1)                             # marginal
pd.crosstab(educacion, registrado, normalize='index')   # condicional

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