Probabilidad condicional

1 · Definición

La probabilidad condicional de $A$ dado $B$ es la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ya ocurrió $B$:

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad \text{con } P(B) > 0$$

Por eso se divide por $P(B)$: es renormalizar, para que las probabilidades dentro del nuevo espacio vuelvan a sumar 1.

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2 · Con datos reales

Entre los asalariados de la EPH, la probabilidad de tener empleo registrado es 0,6236. Pero si se sabe que la persona completó el secundario:

$$P(\text{reg} \mid \text{sec. completo}) = \frac{0{,}5194}{0{,}7465} = 0{,}6958$$

y si no lo completó:

$$P(\text{reg} \mid \text{sec. incompleto}) = \frac{0{,}1042}{0{,}2535} = 0{,}4109$$

70 % contra 41 %. La información sobre la educación cambia sustancialmente lo que se puede decir sobre la registración. Cuando eso pasa, las variables están asociadas.

3 · Las dos direcciones, completas

La misma tabla se puede condicionar por fila o por columna, y son preguntas distintas. Vale la pena verlas juntas una vez:

Por fila — $P(\text{registración} \mid \text{educación})$:

	No registrado	Registrado	Suma
Sin secundario	0,5891	0,4109	1,0000
Con secundario	0,3042	0,6958	1,0000

Por columna — $P(\text{educación} \mid \text{registración})$:

	Sin secundario	Con secundario	Suma
No registrado	0,3968	0,6032	1,0000
Registrado	0,1670	0,8330	1,0000

4 · Cómo se lee la barra

$P(A \mid B)$ se lee “probabilidad de $A$ dado $B$”, y conviene tener claro qué es cada cosa:

Elemento	Papel
$B$, a la derecha	lo que ya se sabe: la condición, el subgrupo
$A$, a la izquierda	lo que se pregunta

Invertir el condicionamiento sin darse cuenta se llama falacia del fiscal, y es lo que el teorema de Bayes corrige.

5 · Cuánto mueve la condición

Comparar la condicional con la marginal dice cuánta información aporta saber $B$:

	$P(\text{registrado})$	Cociente contra la marginal
Sin condicionar	0,6236	1,000
Dado secundario completo	0,6958	1,116
Dado secundario incompleto	0,4109	0,659

6 · El caso que más discusión generó

Tres puertas, un premio detrás de una. El participante elige una, y el presentador —que sabe dónde está el premio— abre otra de las que quedan, siempre una vacía, y ofrece cambiar. ¿Conviene?

Conviene, y la respuesta es 2/3 contra 1/3. La clave está en qué información aporta la puerta abierta:

	Probabilidad inicial	Qué pasa al abrirse una puerta
La elegida	1/3	no cambia: el presentador siempre podía abrir una vacía
Las otras dos, juntas	2/3	se concentra toda en la única que queda cerrada

7 · Dónde aparece, aunque no se la nombre

Esta es la razón por la que el concepto importa más de lo que su lugar en el programa sugiere:

• Los porcentajes por fila de una tabla cruzada son probabilidades condicionales. Ver frecuencias marginales y condicionales.
• La sensibilidad de una prueba diagnóstica es $P(\text{positivo} \mid \text{enfermo})$, y el valor predictivo es la condicional invertida.
• El valor p es $P(\text{datos así de extremos} \mid H_0 \text{ cierta})$, no al revés. Toda la confusión clásica sobre el valor p es un problema de condicional invertida.
• Un modelo de regresión estima $E(Y \mid X)$: la media de $Y$ condicional a los valores de las predictoras.
• El riesgo relativo es un cociente de dos condicionales.

8 · El camino inverso

Despejando de la definición se obtiene la regla del producto:

$$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$$

Es la misma igualdad leída al revés, y suele ser más útil: las condicionales —“de los que tienen secundario, el 70 % está registrado”— son lo que se conoce, y la conjunta lo que se busca.

9 · Errores frecuentes

• Invertir el condicionamiento. $P(A \mid B) \ne P(B \mid A)$, y la diferencia puede ser enorme.
• Dividir por la conjunta en lugar de por la marginal.
• Olvidar que el espacio cambió. Dentro del condicional, el “total” es $P(B)$, no 1.
• Sumar o promediar condicionales de subgrupos distintos. No dan el total; hay que ponderarlas.
• Condicionar por algo de probabilidad cero. La fórmula no está definida.
• Leer una condicional como causa. Que $P(\text{registrado} \mid \text{secundario})$ sea alta no prueba que el secundario cause la registración.
• Suponer que la asociación se mantiene dentro de cada subgrupo. Puede invertirse: ver paradoja de Simpson.

10 · En el software

# R — condicionales desde una tabla
tab <- table(educacion, registrado)
prop.table(tab, 1)      # por fila: P(registrado | educación)
prop.table(tab, 2)      # por columna: P(educación | registrado)

# Control: cada fila tiene que sumar 1
rowSums(prop.table(tab, 1))

# Directo sobre los datos
mean(registrado[educacion == "secundario completo"])

# Python
import pandas as pd
pd.crosstab(educacion, registrado, normalize='index')    # por fila
pd.crosstab(educacion, registrado, normalize='columns')  # por columna

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