Distribuciones geométrica y binomial negativa

1 · Definición

La distribución geométrica da la probabilidad de necesitar exactamente $k$ intentos hasta obtener el primer éxito, en ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad $p$:

$$P(X = k) = (1-p)^{\,k-1}\, p$$

para $k = 1, 2, 3, \dots$

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2 · Cómo se lee la fórmula

Para que el primer éxito caiga recién en el intento $k$ tienen que pasar dos cosas: los primeros $k-1$ intentos fallan —de ahí $(1-p)^{k-1}$— y el $k$-ésimo acierta —de ahí $p$—. Por independencia, se multiplican.

No hay combinatorio porque hay una sola secuencia posible: fracaso, fracaso, …, éxito.

3 · Media y varianza

$$E(X) = \frac{1}{p} \qquad \text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^{2}}$$

La esperanza es la más intuitiva de toda la materia: si algo pasa una vez cada cinco, hay que esperar en promedio cinco intentos.

4 · Un ejemplo

Si el 20 % de los hogares contactados acepta responder una encuesta y se llama hasta conseguir la primera entrevista:

$k$	$P(X = k)$
1	0,2000
2	0,1600
3	0,1280
4	0,1024
5	0,0819
6	0,0655

En promedio hacen falta $1/0{,}2 = 5$ llamados, con desvío $\sqrt{0{,}8/0{,}04} = 4{,}47$ —una variabilidad enorme, casi igual a la media—.

La probabilidad de resolverlo en los primeros tres llamados es 0,4880, y la de necesitar más de cinco es $0{,}8^{5} = 0{,}3277$.

La media engaña: hay que mirar los percentiles

Percentil	Llamados necesarios
50 %	4
75 %	7
90 %	11
95 %	14
99 %	21

5 · Falta de memoria

Es su propiedad más característica:

$$P(X > m + k \mid X > m) = P(X > k)$$

Si ya se hicieron 10 llamados sin éxito, la probabilidad de necesitar 5 más es la misma que al empezar. La distribución no se acuerda de lo que ya pasó. Con $p = 0{,}2$:

$P(X > 5)$	0,3277
$P(X > 15 \mid X > 10)$	0,3277
$P(X > 105 \mid X > 100)$	0,3277

Después de cien fracasos seguidos, la espera que queda por delante es exactamente la misma que al principio.

La geométrica es la única distribución discreta con esta propiedad. Su equivalente continua es la exponencial.

6 · Dos versiones que conviene distinguir

Versión	Soporte	$E(X)$
Cantidad de intentos hasta el éxito	1, 2, 3, …	$1/p$
Cantidad de fracasos antes del éxito	0, 1, 2, …	$(1-p)/p$

Las dos se llaman “geométrica” y difieren en 1. R usa la segunda —cuenta fracasos—, mientras que Python (scipy.stats.geom) y la mayoría de los libros de texto usan la primera. Es la fuente de error más común del tema.

7 · La binomial negativa: esperar r éxitos

Si en vez del primer éxito se espera al $r$-ésimo, la distribución del número de intentos es la binomial negativa:

$$P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^{r} (1-p)^{\,k-r}$$

para $k = r, r+1, \dots$ El combinatorio cuenta en cuáles de los primeros $k-1$ intentos cayeron los $r-1$ éxitos previos; el último intento tiene que ser éxito y por eso no entra en la cuenta.

$$E(X) = \frac{r}{p} \qquad \text{Var}(X) = \frac{r\,(1-p)}{p^{2}}$$

Esa suma es la que vuelve manejable la planificación. El coeficiente de variación cae como $1/\sqrt{r}$:

Entrevistas buscadas	Contactos esperados	CV	Rango del 95 %
1	5	0,894	1 a 17
5	25	0,400	10 a 48
100	500	0,089	417 a 592

Su otra vida: conteos sobredispersos

El mismo objeto sirve para algo que no tiene nada que ver con esperas. Una Poisson obliga a que la varianza iguale a la media, y en datos reales casi siempre la supera. La binomial negativa, reparametrizada por su media $\mu$, admite esa holgura:

$$\text{Var}(X) = \mu + \frac{\mu^{2}}{r}$$

Media	Varianza observada	$r$ que la reproduce
4	8	4,0
4	12	2,0
10	30	5,0

Lo que está en juego son las colas, no el centro: con media 4 y varianza 8, $P(X \ge 15)$ vale 0,0038 bajo la binomial negativa y 0,00002 bajo la Poisson de la misma media —189 veces menos—. Ver elección de distribución.

8 · Errores frecuentes

• Confundirla con la binomial. Si la pregunta dice “en 10 intentos”, es binomial; si dice “hasta conseguir”, es geométrica.
• No fijarse qué versión usa el software. En R, dgeom(4, 0.2) es la probabilidad de 4 fracasos antes del éxito, o sea 5 intentos.
• Aplicarla con $p$ variable. Si la probabilidad de aceptar cambia según el momento del día, no vale.
• Creer en la falacia del jugador. Los fracasos previos no aumentan la probabilidad del próximo éxito.
• Reportar solo la media. Con $p$ chico la variabilidad es enorme y la media sola engaña.
• Planificar con la aproximación normal. Para 100 entrevistas el rango exacto es 417 a 592, no 412 a 588: la distribución sigue siendo asimétrica.
• Confundir los dos usos de la binomial negativa. Como distribución de espera, $r$ es la cantidad de éxitos buscados y es un entero que uno elige; como modelo de conteos, $r$ es un parámetro de dispersión que se estima de los datos y no tiene por qué ser entero.

9 · En el software

# R cuenta FRACASOS, no intentos: restar 1
dgeom(4, prob = 0.2)      # P(5 intentos)  = 0.0819
pgeom(2, 0.2)             # P(≤ 3 intentos) = 0.488
1 - pgeom(4, 0.2)         # P(> 5 intentos) = 0.3277

# Python: scipy.stats.geom SÍ cuenta intentos (soporte 1, 2, 3, …)
from scipy import stats
stats.geom.pmf(5, 0.2)    # 0.0819
stats.geom.cdf(3, 0.2)    # 0.488

# R — binomial negativa, también contando FRACASOS
dnbinom(0, size = 3, prob = 0.2)     # P(3 intentos) = 0.008
qnbinom(c(.025, .975), 100, 0.2) + 100   # 417  592

MASS::glm.nb(y ~ x)                  # el otro uso: conteos sobredispersos

Excel:    =DISTR.BINOM.NEG.N(k-r; r; p; FALSO)
          (la geométrica es el caso r = 1)

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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