Probabilidad

Conjunta, marginal y condicional

Son las tres que se confunden, y la confusión no es de distraídos: los tres números salen de la misma tabla y responden preguntas distintas.

La conjunta P(A y B) mira a todos y cuenta los que cumplen las dos condiciones. La marginal P(A) mira a todos y cuenta los que cumplen una. La condicional P(A | B) no mira a todos: solo mira a los que cumplen B, y entre ellos cuenta los que además cumplen A.

Lo que cambia es el denominador. Esa es toda la diferencia, y es la que hace que una condicional pueda ser enorme mientras la conjunta es diminuta.

P(A | B) no es P(B | A)

De acá sale la mayor parte de los errores con probabilidades, y no solo entre estudiantes: hay estudios clásicos donde la mayoría de los médicos consultados confunde una con la otra.

La probabilidad de que alguien sea argentino dado que habla español no tiene nada que ver con la probabilidad de que hable español dado que es argentino. La segunda es casi 1; la primera, bastante menor que 0,1. Las dos se escriben casi igual y describen mundos distintos.

La calculadora muestra las dos vistas condicionales de la misma tabla —por fila y por columna— justamente para que la diferencia esté a la vista y no haya que imaginarla.

Independientes no es lo mismo que excluyentes

Es el otro par que se mezcla. Excluyentes significa que no pueden ocurrir juntos: P(A y B) = 0. Independientes significa que saber que ocurrió uno no cambia la probabilidad del otro: P(A y B) = P(A)·P(B).

Y son casi opuestos. Dos sucesos con probabilidad positiva nunca pueden ser las dos cosas a la vez: si son excluyentes, enterarte de que ocurrió A te dice con total certeza que B no ocurrió, que es la dependencia más fuerte posible.

Bayes: por qué una prueba muy buena puede no alcanzar

El ejemplo que viene cargado es el clásico de Gigerenzer, y conviene mirarlo antes de leer la explicación: una enfermedad que tiene el 1 % de la población, una prueba que detecta al 90 % de los enfermos y que da positivo en el 9 % de los sanos.

Ante un positivo, ¿cuál es la probabilidad de estar enfermo? La respuesta intuitiva es «90 %», y la correcta es 9 %. No es un error de cuentas: es que la pregunta intuitiva responde a P(positivo | enfermo) cuando lo que se pide es P(enfermo | positivo).

La razón está en los tamaños. De cada 10.000 personas hay 100 enfermas, y la prueba encuentra 90. Pero hay 9.900 sanas, y aunque falle en solo el 9 % de ellas, eso son 891 falsos positivos. De los 981 positivos totales, 90 están enfermos: el 9 %.

Una prueba excelente aplicada a una condición rara produce mayoría de falsos positivos. No porque la prueba sea mala, sino porque los sanos son tantos que su pequeño porcentaje de error supera en número a todos los enfermos juntos.

Contar en personas en vez de en porcentajes

Esa explicación de los 10.000 no es un recurso didáctico improvisado: es la forma de frecuencias naturales, y está documentado que la proporción de gente que resuelve bien el problema sube muchísimo cuando se lo plantea así en vez de con porcentajes.

La calculadora muestra las dos versiones del mismo cálculo, una al lado de la otra. Si hay que explicarle esto a alguien, conviene empezar por la tabla de personas y recién después mostrar la fórmula.

Qué hacer con una tabla que no es 2×2

La calculadora acepta tablas más grandes, y todo lo anterior sigue valiendo: las conjuntas suman 1, cada fila condicional suma 1 y cada columna condicional también.

Lo que no hace es la prueba de hipótesis. Para eso está el chi-cuadrado, que toma la misma tabla y contesta si la diferencia entre lo observado y lo esperado bajo independencia es más grande de lo que el azar explicaría. Acá se muestra esa diferencia —la razón entre observado y esperado— pero sin decidir nada: son dos preguntas distintas y conviene no mezclarlas.