Distribución binomial

1 · Definición

La distribución binomial describe la cantidad de éxitos en $n$ ensayos de Bernoulli independientes, todos con la misma probabilidad $p$:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{k} \, (1-p)^{\,n-k}$$

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2 · Las cuatro condiciones

Para que una situación sea binomial tienen que cumplirse las cuatro:

1. Cantidad fija de ensayos, $n$, decidida de antemano.
2. Dos resultados posibles por ensayo.
3. Probabilidad constante $p$ en todos los ensayos.
4. Independencia entre ensayos.

La que más se viola es la tercera o la cuarta. Si se extrae sin reposición de una población chica, $p$ cambia en cada extracción y los ensayos no son independientes: ahí corresponde la hipergeométrica.

3 · De dónde sale la fórmula

Tiene tres piezas que se entienden por separado:

$$\underbrace{\binom{n}{k}}_{\text{de cuántas formas}} \cdot \underbrace{p^{k}}_{k \text{ éxitos}} \cdot \underbrace{(1-p)^{n-k}}_{n-k \text{ fracasos}}$$

Una secuencia concreta con $k$ éxitos tiene probabilidad $p^k (1-p)^{n-k}$ —por independencia, se multiplican—. Y hay $\binom{n}{k}$ secuencias distintas con esa misma cantidad de éxitos. Se suman todas.

4 · Media y varianza

$$E(X) = n\,p \qquad \text{Var}(X) = n\,p\,(1-p)$$

Salen directamente de las propiedades de la suma: la binomial es la suma de $n$ Bernoulli independientes, así que las esperanzas se suman y —por independencia— las varianzas también.

5 · Un ejemplo

Con $X$ = cantidad de caras al tirar 3 monedas, o sea $B(3; 0{,}5)$:

$$P(X = 2) = \binom{3}{2} \, 0{,}5^{2} \, 0{,}5^{1} = 3 \times 0{,}125 = 0{,}375$$

$k$	$P(X = k)$
0	0,125
1	0,375
2	0,375
3	0,125

Y $E(X) = 3 \times 0{,}5 = 1{,}5$, $\text{Var}(X) = 3 \times 0{,}25 = 0{,}75$, que coinciden con lo calculado a mano en esperanza y varianza.

Un caso más realista. Si el 33,2 % de los ocupados de la muestra alcanzó secundario completo y se eligen 10 al azar, la cantidad con secundario completo sigue una $B(10; 0{,}332)$, con esperanza 3,32.

6 · Una distribución completa

Con la registración de los asalariados: la probabilidad de que uno tomado al azar no esté registrado es 0,3764, así que en un grupo de 10 la cantidad de no registrados es $B(10;\, 0{,}3764)$.

$k$	$P(X = k)$
0	0,0089
1	0,0537
2	0,1458
3	0,2347
4	0,2479
5	0,1795
6	0,0903
7	0,0311

$E(X) = 3{,}76$ y $\sigma = 1{,}53$.

7 · Su forma

Depende de $p$, y se puede medir con la asimetría. Con $n = 10$:

$p$	Asimetría	Forma
0,1	+0,84	cola a la derecha
0,3	+0,28	apenas a la derecha
0,5	0,00	simétrica
0,7	−0,28	apenas a la izquierda
0,9	−0,84	cola a la izquierda

Y a medida que $n$ crece se vuelve más simétrica sea cual sea $p$. Con $p = 0{,}2$, que es bien asimétrico:

$n$	5	10	30	100	500
Asimetría	+0,67	+0,47	+0,27	+0,15	+0,07

8 · Errores frecuentes

• Usarla sin reposición en poblaciones chicas. Corresponde la hipergeométrica.
• Confundir “exactamente k” con “al menos k”. La fórmula da la puntual; para acumuladas hay que sumar o usar la acumulada.
• Olvidar el combinatorio. Sin $\binom{n}{k}$ se calcula la probabilidad de una secuencia, no la de $k$ éxitos en cualquier orden.
• Aplicarla cuando $p$ cambia entre ensayos.
• Aplicarla cuando los ensayos no son independientes. Personas del mismo hogar, mediciones repetidas del mismo sujeto.
• Confundir $n$ con $k$ en la fórmula.

9 · En el software

# R
dbinom(2, size = 3, prob = 0.5)      # P(X = 2) = 0.375
pbinom(2, 3, 0.5)                    # P(X ≤ 2) = 0.875
1 - pbinom(2, 3, 0.5)                # P(X > 2) = 0.125
rbinom(100, 10, 0.332)               # 100 simulaciones

# Python
from scipy import stats
stats.binom.pmf(2, n=3, p=0.5)
stats.binom.cdf(2, 3, 0.5)
stats.binom.sf(2, 3, 0.5)            # P(X > 2)

Excel:    =DISTR.BINOM.N(2; 3; 0,5; FALSO)       puntual
          =DISTR.BINOM.N(2; 3; 0,5; VERDADERO)   acumulada
          =COMBINAT(3; 2)                        el combinatorio

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