Teorema de Bayes

1 · El teorema

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}$$

y, desarrollando el denominador con la probabilidad total:

$$P(A_i \mid B) = \frac{P(B \mid A_i)\,P(A_i)}{\sum_j P(B \mid A_j)\,P(A_j)}$$

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2 · De dónde sale

De escribir la conjunta de las dos maneras posibles, con la regla del producto:

$$P(A \cap B) = P(A)\,P(B \mid A) = P(B)\,P(A \mid B)$$

Despejando $P(A \mid B)$ de la última igualdad se obtiene el teorema. No hay nada más: Bayes es un despeje.

3 · El vocabulario

Término	Qué es
$P(A)$	Probabilidad a priori: lo que se sabía antes del dato
$P(B \mid A)$	Verosimilitud: qué tan esperable era el dato si $A$ es cierto
$P(B)$	Evidencia: probabilidad total del dato
$P(A \mid B)$	Probabilidad a posteriori: lo que se sabe después

Leído así, el teorema describe cómo se actualiza una creencia con información nueva, y por eso da nombre a toda una escuela de la Estadística.

4 · Un ejemplo con la EPH

Se sabe que entre quienes no terminaron el secundario, el 58,91 % tiene empleo no registrado. La pregunta inversa —de los no registrados, ¿qué proporción no terminó el secundario?— se responde con Bayes:

$$P(\text{sec. inc.} \mid \text{no reg.}) = \frac{0{,}5891 \times 0{,}2535}{0{,}3764} = 0{,}3968$$

59 % en un sentido, 40 % en el otro. La diferencia la produce el peso relativo de los grupos: quienes no terminaron el secundario son apenas la cuarta parte de los asalariados, así que aun teniendo mucha más informalidad no llegan a ser la mayoría de los no registrados.

5 · El caso que desarma la intuición

Una prueba diagnóstica con sensibilidad 99 % y especificidad 95 % se aplica a una enfermedad que afecta al 1 por mil. Da positivo. ¿Cuál es la probabilidad de estar enfermo?

$$P(E \mid +) = \frac{0{,}99 \times 0{,}001}{0{,}99 \times 0{,}001 + 0{,}05 \times 0{,}999} = \frac{0{,}00099}{0{,}05094} = 0{,}0194$$

Menos del 2 %. Con una prueba casi perfecta.

La forma más clara de verlo es con frecuencias naturales, sobre 100.000 personas:

	Enfermos	Sanos	Total
Prueba positiva	99	4.995	5.094
Prueba negativa	1	94.905	94.906
Total	100	99.900	100.000

De los 5.094 positivos, solo 99 están enfermos: 1,94 %. Los falsos positivos son cincuenta veces más que los verdaderos, simplemente porque hay mil veces más sanos que enfermos.

6 · La misma prueba, distintas poblaciones

La prueba no cambia; cambia a quién se le aplica:

Prevalencia	Probabilidad de estar enfermo tras un positivo
1 en 10.000	0,002
1 en 1.000	0,019
1 en 100	0,167
5 %	0,510
10 %	0,688
30 %	0,895
50 %	0,952

7 · La versión en odds, que es la que se usa

Escrito en odds el teorema se vuelve una multiplicación:

$$\text{odds posteriores} = \text{odds previos} \times LR$$

donde $LR$ es la razón de verosimilitud del resultado obtenido. Para un positivo:

$$LR^{+} = \frac{\text{sensibilidad}}{1 - \text{especificidad}} = \frac{0{,}99}{0{,}05} = 19{,}8$$

Con la prevalencia de 1 por mil, los odds previos son 1 contra 999:

$$\text{odds} = \frac{1}{999} \times 19{,}8 = 0{,}0198 \quad\Rightarrow\quad P = \frac{0{,}0198}{1{,}0198} = 0{,}0194$$

el mismo 1,94 % de antes, sin desarrollar ningún denominador.

Repitiendo la prueba sobre la misma persona:

Positivos acumulados	Odds	Probabilidad
1	0,020	0,019
2	0,392	0,282
3	7,770	0,886

8 · Errores frecuentes

• Ignorar la probabilidad previa. Es el error de la tasa base: razonar solo con la sensibilidad y concluir “la prueba acierta el 99 %, entonces estoy 99 % enfermo”.
• Confundir $P(+ \mid E)$ con $P(E \mid +)$. Es el mismo error escrito en símbolos.
• La falacia del fiscal. “La probabilidad de esta coincidencia si es inocente es 1 en un millón” no es “la probabilidad de que sea inocente es 1 en un millón”.
• Interpretar mal el valor p. $P(\text{datos} \mid H_0)$ no es $P(H_0 \mid \text{datos})$: es exactamente la misma inversión indebida.
• Olvidar desarrollar el denominador. $P(B)$ casi nunca es dato: hay que calcularlo por probabilidad total.
• Encadenar razones de verosimilitud de pruebas que no son independientes.
• Usar una previa inventada sin declararla.

9 · En el software

# R — Bayes es una cuenta, no una función
sens <- 0.99; esp <- 0.95; prev <- 0.001
vpp  <- sens * prev / (sens * prev + (1 - esp) * (1 - prev))
vpp                     # 0.01943

# La misma cuenta en odds
lr   <- sens / (1 - esp)
odds <- prev / (1 - prev) * lr
odds / (1 + odds)       # idéntico

# Cómo cambia con la prevalencia
p <- seq(0.001, 0.5, length.out = 100)
plot(p, sens * p / (sens * p + (1 - esp) * (1 - p)), type = "l")

# Python
sens, esp, prev = 0.99, 0.95, 0.001
vpp = sens * prev / (sens * prev + (1 - esp) * (1 - prev))

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