Modelos mixtos y datos anidados

1 · El problema

Los datos casi nunca son independientes: vienen agrupados.

• Alumnos dentro de escuelas.
• Pacientes dentro de hospitales.
• Personas dentro de hogares.
• Mediciones repetidas dentro de sujetos.
• Hogares dentro de radios censales, como en la EPH.

2 · Cuánto importa: el efecto del diseño

$$\text{deff} = 1 + (m - 1)\,\rho$$

con $m$ el tamaño promedio del grupo y $\rho$ la correlación intraclase.

$m$	$\rho$	deff	$n$ efectivo de 1.000 casos
20	0,01	1,19	840
20	0,05	1,95	513
20	0,10	2,90	345
50	0,10	5,90	169

3 · La correlación intraclase

$$\rho = \frac{\sigma^2_{\text{entre grupos}}}{\sigma^2_{\text{entre}} + \sigma^2_{\text{dentro}}}$$

Es la proporción de la variabilidad total que corresponde a diferencias entre grupos. Con $\rho = 0$ los grupos son indistinguibles y no hace falta modelo mixto; con $\rho$ alto, el grupo determina mucho.

Calcularla con un modelo vacío —solo con el efecto aleatorio— es el primer paso estándar de cualquier análisis multinivel.

4 · Efectos fijos y aleatorios

	Efectos fijos	Efectos aleatorios
Qué son los niveles	todos los de interés	una muestra de una población de grupos
Qué se estima	un coeficiente por nivel	la varianza entre niveles
Generaliza a	esos niveles	la población de grupos
Ejemplo	tratamiento A y B	las 40 escuelas relevadas

Un modelo mixto tiene los dos: efectos fijos para las variables de interés y aleatorios para la estructura de agrupamiento.

5 · Los dos tipos de efecto aleatorio

Intercepto aleatorio. Cada grupo tiene su propio nivel base, y el efecto de las predictoras es común:

$$y_{ij} = \beta_0 + u_j + \beta_1 x_{ij} + \varepsilon_{ij}$$

Pendiente aleatoria. Además, el efecto de una predictora varía entre grupos: el rendimiento de un método pedagógico puede depender de la escuela.

6 · Qué se gana

Errores estándar correctos, que es lo principal.

Estimaciones por grupo más estables. Los efectos aleatorios aplican shrinkage: los grupos con pocos casos se acercan al promedio general, lo que evita las estimaciones extremas de los grupos chicos —el mismo problema que la ley de los números pequeños—.

Cuánto más estables

Cuarenta escuelas de tamaños dispares, con una correlación intraclase verdadera de 0,20. Error al estimar la media de cada escuela:

Estimador	Error medio
La media de cada escuela, sin agrupar	3,559
El modelo mixto (agrupamiento parcial)	2,686
La media general para todas	4,501

Y cuánto se corre cada una, según su tamaño:

Alumnos por escuela	Encogimiento hacia la media general
3	49 %
8	27 %
20	13 %
60	5 %

Casos incompletos aprovechados. A diferencia del ANOVA de medidas repetidas, no descarta a quien tiene una medición faltante.

Predictoras de los dos niveles a la vez: características del alumno y de la escuela en el mismo modelo.

7 · Las alternativas

Enfoque	Cuándo
Modelos mixtos	interesa la estructura; hay predictoras de varios niveles
Errores estándar por conglomerado	solo interesa corregir la inferencia
GEE	interesa el efecto poblacional promedio
Agregar a nivel de grupo	pierde información; a veces alcanza
Efectos fijos por grupo	pocos grupos, todos de interés

8 · Errores frecuentes

• Ignorar la estructura de agrupamiento. El error más frecuente y el que más falsos positivos genera.
• Pseudorreplicar: contar mediciones como si fueran unidades independientes.
• Usar efectos aleatorios con muy pocos grupos. Con menos de 5 o 6 la varianza entre grupos se estima pésimo; ahí convienen efectos fijos. Cuánto pésimo, con una correlación intraclase verdadera de 0,20 y veinte casos por grupo:

Grupos	ICC estimada, rango del 5 al 95 %	Da exactamente cero
3	0,000 a 0,470	15,8 %
5	0,003 a 0,410	4,5 %
10	0,059 a 0,349	0,2 %
40	0,128 a 0,272	0 %

Con tres grupos, el modelo concluye que no hay agrupamiento —ICC de cero— en el 16 % de los casos, aunque la haya. El umbral de 5 o 6 no es arbitrario: es donde ese colapso deja de ser frecuente.

• No reportar la correlación intraclase.
• Interpretar los coeficientes de un modelo mixto como si fueran de uno común: son efectos dentro de los grupos.
• Olvidar que siguen siendo modelos: todos los supuestos de linealidad y forma funcional siguen vigentes.

9 · En el software

# R — lme4 es el estándar
library(lmerTest)

# Modelo vacío, para la correlación intraclase
m0 <- lmer(puntaje ~ 1 + (1 | escuela), data = d)
performance::icc(m0)

# Intercepto aleatorio
m1 <- lmer(puntaje ~ nivel_socioec + (1 | escuela), data = d)

# Pendiente aleatoria
m2 <- lmer(puntaje ~ nivel_socioec + (1 + nivel_socioec | escuela), data = d)

# Versión generalizada, para respuesta binaria
glmer(aprobo ~ x + (1 | escuela), data = d, family = binomial)

# Python
import statsmodels.formula.api as smf
smf.mixedlm("puntaje ~ nivel_socioec", data=d, groups=d["escuela"]).fit()

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