Regla del producto

1 · La regla

La probabilidad de que ocurran los dos eventos:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$$

Si son independientes, la condicional es igual a la marginal y queda la versión simple:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

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2 · Es la condicional despejada

No es una regla nueva: sale de la definición de probabilidad condicional multiplicando los dos lados por $P(A)$. Y como la intersección es simétrica, se puede escribir en cualquiera de los dos órdenes:

$$P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A) = P(B)P(A \mid B)$$

Esa doble escritura es el punto de partida del teorema de Bayes.

3 · Con datos reales

De los asalariados de la EPH, el 25,35 % no terminó el secundario, y de ellos el 58,91 % tiene empleo no registrado. La probabilidad de que una persona elegida al azar cumpla las dos condiciones:

$$P(\text{sec. incompleto} \cap \text{no reg.}) = 0{,}2535 \times 0{,}5891 = 0{,}1494$$

que es exactamente la celda de la tabla. La regla del producto reconstruye la conjunta a partir de una marginal y una condicional, que suele ser la forma en que los datos se publican.

4 · Con reposición y sin reposición

Es la distinción que decide si se puede usar la versión simple.

De un lote de 50 piezas con 8 defectuosas, se extraen 2 y se pregunta por la probabilidad de que las dos sean defectuosas:

Con reposición —se devuelve la primera—: los eventos son independientes.

$$\frac{8}{50} \times \frac{8}{50} = 0{,}0256$$

Sin reposición: la segunda extracción depende de la primera.

$$\frac{8}{50} \times \frac{7}{49} = 0{,}0229$$

La diferencia viene de que, sacada una defectuosa, quedan 7 entre 49. Es el mismo fenómeno que separa la binomial de la hipergeométrica.

Cuándo la distinción deja de importar

Manteniendo la proporción de defectuosas en 16 % y agrandando el lote:

Tamaño del lote	Con reposición	Sin reposición	Difieren en
50	0,0256	0,0229	12,0 %
200	0,0256	0,0249	2,7 %
1.000	0,0256	0,0255	0,5 %
5.000	0,0256	0,0256	0,1 %

5 · Encadenar varios eventos

La regla se extiende condicionando a todo lo anterior:

$$P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid A \cap B)$$

Con independencia se simplifica a un producto de marginales, y de ahí sale, por ejemplo, que la probabilidad de $k$ éxitos seguidos sea $p^{k}$.

6 · Por qué las cadenas largas fallan

Multiplicar números menores que 1 los derrumba rápido, y eso tiene consecuencias prácticas que sorprenden. Un proceso donde cada paso funciona con probabilidad $p$ y todos tienen que salir bien:

Éxito de cada paso	5 pasos	10 pasos	20 pasos
0,99	0,951	0,904	0,818
0,95	0,774	0,599	0,358
0,90	0,590	0,349	0,122

7 · Errores frecuentes

• Multiplicar marginales con eventos dependientes. Es el error que más subestima probabilidades conjuntas.
• Confundir “y” con “o”. El producto es para la intersección; la suma, para la unión.
• Usar la condicional al revés. $P(A)P(B \mid A)$, no $P(A)P(A \mid B)$.
• Olvidar que sin reposición cambian las probabilidades en cada paso.
• Corregir por no reposición cuando la muestra es mínima frente a la población: la diferencia es despreciable y complica la cuenta.
• Suponer independencia entre mediciones del mismo sujeto o personas del mismo hogar.
• Encadenar sin condicionar a todo lo anterior cuando hay dependencia.

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