Prueba de rachas

1 · Qué contrasta

$$H_0: \text{la secuencia de observaciones es aleatoria}$$

Es la única prueba del curso que contrasta independencia en lugar de posición o forma. Eso la vuelve especial: la independencia es el supuesto que todas las demás pruebas dan por cierto sin verificarlo.

2 · La lógica

Cantidad de rachas	Indica
Demasiado pocas	agrupamiento: los valores similares se juntan (tendencia, autocorrelación positiva)
Demasiadas	alternancia excesiva: autocorrelación negativa
Intermedia	compatible con el azar

Se cuentan las rachas observadas y se las compara con las esperadas bajo aleatoriedad:

$$E(R) = \frac{2 n_1 n_2}{n} + 1$$

Con $n$ grande, el estadístico estandarizado se compara con una normal.

3 · Cómo se aplica a datos cuantitativos

Se dicotomiza: cada valor se marca según esté por encima o por debajo de la mediana, y se aplica la prueba a esa secuencia de signos.

Es la forma habitual de usarla para detectar tendencia o ciclos en una serie.

4 · Dónde sirve

Control de calidad. Una secuencia de mediciones con pocas rachas alrededor del valor objetivo indica que el proceso se está desviando, aunque todas las mediciones estén dentro de tolerancia. Es uno de los criterios clásicos de las cartas de control.

Residuos de una regresión. Un patrón de rachas en los residuos ordenados por tiempo delata autocorrelación, y viola el supuesto de independencia.

Auditoría de datos. Secuencias con demasiadas rachas —alternancia excesiva— son un indicio de datos inventados: las personas que fabrican secuencias “al azar” alternan más de lo que el azar alterna.

Aleatoriedad de un sorteo o de un generador.

Cuán largas, exactamente

La racha más larga en una secuencia de tiradas honestas de una moneda:

Tiradas	Racha más larga, en promedio	No sorprende ver hasta	$\log_2 n$
20	4,65	7	4,3
50	5,97	8	5,6
100	6,98	9	6,6
200	8,00	10	7,6
1.000	10,34	13	10,0

Y cuánto se nota una secuencia inventada

Simulando a alguien que “hace el azar” cambiando de símbolo con probabilidad $q$ en vez de 0,50, sobre sesenta observaciones:

Probabilidad de alternar	Rachas promedio	La prueba lo detecta
0,50 (azar real)	30,5	4,8 %
0,55	33,4	11,3 %
0,60	36,5	32,4 %
0,70	42,3	87,3 %
0,80	48,2	99,9 %

5 · Sus límites

• Poca potencia. Detecta solo apartamientos bastante marcados. Contra autocorrelación AR(1), comparada con las alternativas de la sección 6:

$n$	$\rho$	Rachas	Autocorr. de orden 1	Ljung-Box
30	0,0	0,040	0,041	0,059
30	0,5	0,337	0,624	0,451
60	0,3	0,297	0,534	0,341
60	0,5	0,698	0,951	0,836
120	0,3	0,564	0,873	0,691

Con sesenta datos y una autocorrelación de 0,3, la prueba de rachas la detecta el 30 % de las veces y el contraste de autocorrelación de orden 1, el 53 %: casi el doble. La razón es la fila siguiente.

• Dicotomizar pierde información, y el resultado depende del punto de corte.
• Solo detecta dependencia secuencial, no otras formas de dependencia.
• Requiere un orden con sentido: tiempo, posición, orden de procesamiento. Si el orden de las filas es arbitrario, la prueba no significa nada.

6 · Alternativas

Objetivo	Herramienta mejor
Autocorrelación en una serie	correlograma, Durbin-Watson, Ljung-Box
Dependencia en residuos de regresión	gráfico de residuos contra el orden
Patrón en datos espaciales	índices de autocorrelación espacial

La prueba de rachas es útil como chequeo rápido y sin supuestos, no como análisis principal de una serie.

7 · Errores frecuentes

• Aplicarla a datos sin orden natural.
• Olvidar que el punto de corte afecta el resultado.
• Interpretar “no significativa” como prueba de aleatoriedad. La potencia es baja.
• Usarla como único diagnóstico de una serie de tiempo.
• Confundir cantidad de rachas con longitud de la racha más larga. Son cosas distintas: la prueba mira la primera, y la que sorprende a la intuición es la segunda.
• Sospechar de una racha de siete en cien observaciones. Es la longitud esperada.
• Usarla como diagnóstico principal de autocorrelación. Tiene la mitad de la potencia del contraste de autocorrelación de orden 1.

8 · En el software

# R
library(randtests)
runs.test(x)                       # cuantitativa, dicotomiza por la mediana

library(tseries)
runs.test(as.factor(x > median(x)))

# Para residuos de un modelo
runs.test(residuals(modelo))

# Python
from statsmodels.sandbox.stats.runs import runstest_1samp
runstest_1samp(x, correction=True)

SPSS:     Analizar › Pruebas no paramétricas › Cuadros de diálogo antiguos ›
          Rachas

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