Qué es el análisis multivariado

1 · Qué lo define

Analizar varias variables a la vez, teniendo en cuenta las relaciones entre ellas, en lugar de estudiarlas de a una o de a pares.

2 · Por qué hace falta

Con 32 aglomerados y 10 indicadores, las correlaciones muestran el problema de entrada:

Par	$r$
Edad media / población de 65+	+0,961
Ingreso medio / ingreso mediano	+0,960
Empleo / actividad	+0,921

Diez variables, pero no diez dimensiones. Varias miden casi lo mismo. Analizar cada una por separado repite información y da una falsa sensación de riqueza.

Cuántas dimensiones hay realmente, según los criterios habituales:

Criterio	Dimensiones
Valor propio mayor que 1	4
80 % de la varianza	4
90 % de la varianza	5
Componentes que superan al azar (§3)	2

3 · La línea de base: qué devuelven con ruido puro

Estas técnicas siempre devuelven un resultado. No existe la salida “acá no hay nada”, así que la única forma de saber si lo que se encontró es estructura o casualidad es comparar contra qué habría devuelto la misma técnica con datos sin ninguna estructura.

Veinte mil matrices de 32 filas y 10 columnas de ruido independiente —exactamente la forma de la matriz del caso— contra los datos reales:

	Ruido puro	Datos reales
Varianza del CP1	20,0 %	34,6 %
Varianza acumulada CP1-2	36,5 %	57,3 %
Varianza acumulada CP1-4	62,3 %	85,6 %
Componentes con valor propio > 1	4,52	4
Mayor $\lvert r \rvert$ de la matriz	0,430	0,961

La comparación correcta es contra la distribución del ruido, componente por componente —lo que se llama análisis paralelo—:

	Real	Ruido: media	Ruido: p95	¿Supera?
CP1	3,461	2,001	2,309	sí
CP2	2,265	1,651	1,855	sí
CP3	1,491	1,396	1,558	no
CP4	1,343	1,185	1,324	apenas
CP5	0,712	1,003	1,129	no

También los conglomerados

Lo mismo vale para el agrupamiento. Coeficiente de silueta —cuán separados están los grupos, de 0 a 1— con los datos reales y con ruido:

$k$	Datos reales	Ruido: media	Ruido: p95
2	0,223	0,125	0,156
3	0,239	0,118	0,146
4	0,215	0,116	0,145
5	0,138	0,113	0,143

4 · Las cuatro familias

Familia	Pregunta	Técnicas
Reducción de dimensiones	¿cuántas dimensiones reales hay?	componentes principales, factorial
Agrupamiento	¿qué casos se parecen entre sí?	jerárquico, k-medias
Clasificación	¿a qué grupo conocido pertenece?	discriminante, logística
Dependencia	¿cómo influyen varias variables sobre otras?	regresión múltiple, MANOVA

5 · La división que más ordena

	Métodos de interdependencia	Métodos de dependencia
Variables	todas al mismo nivel	hay una respuesta y predictoras
Pregunta	¿cómo se estructura el conjunto?	¿cómo se explica la respuesta?
Ejemplos	PCA, factorial, clusters	regresión, discriminante, MANOVA

6 · Lo que cambia respecto del curso anterior

La geometría reemplaza a la fórmula. Cada caso es un punto en un espacio de tantas dimensiones como variables, y casi todo se resuelve con distancias y proyecciones.

La inferencia pasa a segundo plano. Muchas técnicas son exploratorias: no hay valor p ni hipótesis nula, y el criterio de éxito es la interpretabilidad.

La escala no importa: decide

Los diez indicadores del caso están en unidades incomparables. Sus desvíos:

Variable	Desvío	Desvío al cuadrado
Ingreso medio	302.315	$9{,}1\times10^{10}$
Ingreso mediano	243.277	$5{,}9\times10^{10}$
No registrados	9,6	92,9
Edad media	1,65	2,73
Gini	0,0498	0,00248

El PCA reparte varianza, así que sin estandarizar reparte esas cantidades:

	CP1 explica	Qué es el CP1
Sin estandarizar	98,09 %	ingreso medio (0,78) y mediano (0,62), y nada más
Estandarizando	34,6 %	las diez variables

7 · Cuántos casos hacen falta

La regla que circula es “de 5 a 10 observaciones por variable”. El caso de este módulo tiene 3,2, y conviene saber qué significa eso.

Recuperación del primer componente verdadero —congruencia $\ge 0{,}95$ con la estructura poblacional, 10 variables—, en dos situaciones distintas:

$n$	Casos por variable	CP1 dominante	CP1 apenas separado
20	2	98,4 %	27,5 %
30	3	99,8 %	39,4 %
50	5	100 %	55,4 %
100	10	100 %	73,7 %
200	20	100 %	89,9 %
500	50	100 %	98,9 %

Y en el caso concreto, con 32 aglomerados y valores propios de 3,461 y 2,265 —apenas 1,53 veces uno del otro—, remuestrear los aglomerados devuelve el mismo primer componente en el 52,3 % de las réplicas. La mediana de congruencia es 0,955, pero el percentil 5 es 0,235: en una de cada veinte remuestras, el CP1 es otro.

8 · Sus riesgos

Los otros riesgos habituales:

• Sobreinterpretar componentes o grupos que son artefactos.
• Elegir la cantidad de componentes o de grupos mirando cuál da el resultado más lindo.
• Presentar lo exploratorio como confirmatorio.

9 · Errores frecuentes

• No comparar contra una línea de base. Es el error que engloba a todos los demás: sin saber qué devuelve la técnica con ruido, cualquier salida parece un hallazgo.
• Usar el criterio de Kaiser como si decidiera algo. Con 32 casos y 10 variables, el ruido puro también da cuatro componentes.
• No estandarizar con variables en unidades distintas. En el caso, el CP1 sin estandarizar explica el 98 % y es solamente el ingreso.
• Confiar en las reglas de casos por variable. Lo que decide es la separación entre los valores propios.
• Interpretar resultados exploratorios como hallazgos confirmados.
• No mirar las correlaciones antes. Si no hay correlación, no hay estructura que reducir —y con muestras chicas, correlaciones de 0,4 aparecen solas—.
• Incluir variables redundantes y sorprenderse de que dominen los resultados.
• Olvidar los valores faltantes: la mayoría de estas técnicas descarta el caso completo.

10 · En el software

# R — el punto de partida de casi todo
X <- scale(datos[, variables])
round(cor(X), 2)
pairs(X)

prcomp(X)                  # componentes principales
hclust(dist(X))            # conglomerados

# La línea de base, que es el paso que falta casi siempre
psych::fa.parallel(X, fa = "pc")    # análisis paralelo

# Python
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
Z = StandardScaler().fit_transform(X)

import seaborn as sns
sns.heatmap(pd.DataFrame(X).corr(), annot=True)

# Análisis paralelo a mano: los valores propios del ruido
import numpy as np
n, p = Z.shape
ruido = np.array([np.sort(np.linalg.eigvalsh(
            np.corrcoef(np.random.normal(size=(n, p)).T)))[::-1]
          for _ in range(1000)])
np.percentile(ruido, 95, axis=0)    # el umbral, componente por componente

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