Regresión logística

1 · Por qué no sirve la regresión lineal

Con $Y$ binaria —0 o 1— el modelo lineal falla en todo:

• Predice fuera del rango: probabilidades negativas o mayores que 1.
• Los errores no son normales: solo pueden tomar dos valores.
• Hay heterocedasticidad por construcción: la varianza de una Bernoulli es $p(1-p)$, que depende de $p$.
• La relación no es lineal: cerca de 0 y de 1 los efectos se aplanan.

2 · La solución: el logit

En lugar de modelar la probabilidad, se modela el logaritmo de la chance:

$$\ln\left(\frac{p}{1-p}\right) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \dots + \beta_k x_k$$

Despejando:

$$p = \frac{1}{1 + e^{-(\beta_0 + \beta_1 x_1 + \dots)}}$$

que es la curva logística: una S que se aplana en 0 y en 1.

3 · El ejemplo

¿Quién tiene empleo registrado? Sobre 13.864 asalariados de la EPH, de los cuales el 62,6 % está registrado:

Término	$b$	Odds ratio	IC 95 % del OR
Constante	−2,2841	0,102	0,084 – 0,123
Edad	0,0460	1,047	1,044 – 1,051
Mujer	−0,4812	0,618	0,573 – 0,667
Secundario	0,9280	2,530	2,244 – 2,852
Superior	1,9954	7,355	6,470 – 8,363

• Cada año de edad multiplica la chance de estar registrado por 1,047.
• Ser mujer la multiplica por 0,618: una reducción del 38 %.
• Tener nivel superior la multiplica por 7,4 frente a primario.

Los coeficientes crudos —en escala logit— no se interpretan directamente: se los exponencia para obtener odds ratios.

4 · Cómo se estima

No por mínimos cuadrados sino por máxima verosimilitud: se busca el conjunto de coeficientes que hace más probables los datos observados. Ver métodos de estimación.

Eso trae dos consecuencias: la estimación es iterativa —puede no converger— y la inferencia se basa en propiedades asintóticas, así que necesita muestras razonables.

5 · Cómo se evalúa el ajuste

No hay $R^2$. Existen varios pseudo-$R^2$, y todos son análogos imperfectos:

Medida	Comentario
McFadden	el más usado; valores de 0,2 a 0,4 ya indican buen ajuste
Nagelkerke	reescalado para llegar a 1
Cox-Snell	no puede alcanzar 1

En el ejemplo, McFadden vale 0,104, que para datos individuales es razonable.

El porcentaje de aciertos, con una advertencia grande:

	Valor
Acierto del modelo	68,2 %
Acierto prediciendo siempre “registrado”	62,6 %

Esos son, para este modelo:

Criterio	Aciertos	Sensibilidad	Especificidad
Corte en 0,500	68,2 %	83,0 %	43,3 %
Corte en 0,626 (la prevalencia)	66,1 %	65,1 %	67,9 %
Predecir siempre “registrado”	62,6 %	100 %	0 %

$$AUC = 0{,}7186$$

La prueba de Hosmer-Lemeshow evalúa calibración, con el problema habitual: con $n$ grande rechaza siempre.

6 · Sus supuestos

1. Independencia de las observaciones.
2. Linealidad en el logit: el efecto de una predictora continua es lineal en escala logit, no en probabilidad.
3. Sin multicolinealidad fuerte.
4. Suficientes eventos: 10 a 20 del resultado menos frecuente por predictora.

De dónde sale ese 10 a 20

Simulación con ocho predictoras, de las cuales una tiene un odds ratio verdadero de 2,0, variando los eventos por variable:

Eventos por variable	Eventos totales	OR estimado	Sesgo	Cobertura del IC
2	16	2,42	+27 %	0,935
5	40	2,13	+9 %	0,942
10	80	2,05	+4 %	0,957
20	160	2,02	+2 %	0,951
50	400	2,01	+1 %	0,954

7 · Errores frecuentes

• Interpretar los coeficientes crudos sin exponenciar.
• Leer el odds ratio como riesgo relativo. Ver cómo se interpreta un odds ratio.
• Reportar solo el porcentaje de aciertos con clases desbalanceadas.
• Interpretar el pseudo-$R^2$ como el $R^2$ lineal.
• Contar el $n$ total en lugar de los eventos, al evaluar si alcanza la muestra. Con dos eventos por variable, el odds ratio sale un 21 % inflado.
• Reportar solo la sensibilidad de un modelo con clases desbalanceadas. Acá es del 83 % y la especificidad, del 43 %.
• Verificar normalidad de los residuos.
• Dicotomizar una variable continua para poder usar logística, perdiendo información.

8 · En el software

# R
modelo <- glm(registrado ~ edad + mujer + secundario + superior,
              data = a, family = binomial)
summary(modelo)

exp(cbind(OR = coef(modelo), confint(modelo)))    # odds ratios con IC

# Ajuste y clasificación
DescTools::PseudoR2(modelo, "McFadden")
pred <- ifelse(predict(modelo, type = "response") > 0.5, 1, 0)
table(pred, a$registrado)

pROC::roc(a$registrado, predict(modelo, type = "response"))

# Python
import statsmodels.formula.api as smf
modelo = smf.logit("registrado ~ edad + mujer + secundario + superior",
                   data=a).fit()
modelo.summary()
np.exp(modelo.params)

SPSS:     Analizar › Regresión › Logística binaria
          (la columna Exp(B) es el odds ratio)

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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