Coeficiente de correlación de Pearson

1 · Definición

El coeficiente de correlación de Pearson es la covarianza estandarizada:

$$r = \frac{s_{xy}}{s_x \, s_y} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$

2 · Sus propiedades

Va de −1 a +1. Los extremos son relación lineal perfecta; el 0, ausencia de relación lineal.

No tiene unidades, así que se puede comparar entre pares de variables distintas.

Es simétrico: $r_{xy} = r_{yx}$. No distingue explicativa de respuesta.

No cambia con transformaciones lineales. Medir el ingreso en pesos o en miles de pesos da el mismo $r$.

Es sensible a los valores atípicos. Un solo punto extremo puede cambiarlo drásticamente, en cualquier dirección.

3 · Qué mide exactamente

Relación lineal, y solo lineal. Es la limitación central y la fuente de casi todos los errores de interpretación.

Por eso el diagrama de dispersión va primero: el $r$ resume la nube en un número, y muchas nubes distintas dan el mismo número.

4 · Un ejemplo que muestra el problema

Entre horas trabajadas e ingreso mensual, en 14.212 ocupados de la EPH:

Medida	Valor
Pearson $r$	0,249
Spearman $\rho$	0,411
Pearson sobre $\log(\text{ingreso})$	0,431

Los tres describen la misma relación. Pearson da bastante menos porque la relación no es lineal —el ingreso es muy asimétrico— y porque los valores extremos la distorsionan. Al tomar logaritmos, la relación se endereza y $r$ salta a 0,431, casi el valor de Spearman.

5 · Sus supuestos

Para que $r$ describa bien:

1. Las dos variables son cuantitativas. Con ordinales va Spearman.
2. La relación es aproximadamente lineal.
3. No hay atípicos dominantes.
4. No hay subgrupos que se comporten distinto.

Y para hacer inferencia sobre $r$ —prueba de significación o intervalo— hace falta además normalidad bivariada, o un $n$ grande.

6 · La prueba de significación

$$H_0: \rho = 0 \qquad t = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^{2}}} \qquad gl = n - 2$$

7 · Errores frecuentes

• Concluir que no hay relación porque $r \approx 0$. Puede haber una curva.
• No graficar antes.
• Interpretarlo como porcentaje. Un $r$ de 0,5 no es “50 % de relación”; lo que se interpreta como proporción es $r^2$, el coeficiente de determinación.
• Usarlo con variables ordinales o categóricas.
• Calcularlo con atípicos sin analizarlos.
• Concluir causalidad. Ver correlación y causalidad.
• Promediar coeficientes de distintos grupos. No se promedian directamente: hay que pasar por la transformación z de Fisher.

8 · En el software

# R
cor(horas, ingreso)                        # 0.249
cor(horas, ingreso, use = "complete.obs")  # excluyendo faltantes
cor.test(horas, ingreso)                   # con IC y valor p

cor(datos)                                 # matriz de correlaciones

# Python
from scipy import stats
r, p = stats.pearsonr(horas, ingreso)
datos.corr()                               # matriz

Excel:    =COEF.DE.CORREL(rango1; rango2)
SPSS:     Analizar › Correlaciones › Bivariadas

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