La matriz de correlaciones

1 · Qué es

Una tabla cuadrada con la correlación de cada par de variables. Es simétrica, tiene unos en la diagonal, y con $p$ variables contiene $p(p-1)/2$ correlaciones distintas.

2 · Qué buscar

Par	$r$	Qué indica
Edad media / población 65+	+0,961	redundancia: miden lo mismo
Ingreso medio / mediano	+0,960	redundancia
Empleo / actividad	+0,921	redundancia
Ingreso mediano / no registrados	−0,844	relación sustantiva

Correlaciones muy altas (> 0,9) entre dos variables señalan que una sobra, o que conviene combinarlas. Son un aviso de multicolinealidad si el destino es una regresión.

Bloques de variables correlacionadas entre sí y poco con el resto sugieren dimensiones latentes: es lo que el análisis factorial formaliza.

Correlaciones cercanas a cero en toda la matriz indican que no hay estructura que reducir. Con el cuidado que corresponde: con 32 casos y 10 variables sin ninguna relación, la correlación más alta de la matriz vale 0,43 en promedio —medido en qué es el análisis multivariado—, así que “cercanas a cero” no significa lo que parece.

3 · Lo que los números no muestran

Mirar las 45 correlaciones de a una no alcanza, porque una variable puede ser función exacta de otras dos sin que ningún par llame la atención. Eso pasa en este mismo caso.

Las tres tasas del mercado de trabajo no son tres variables:

$$\text{empleo} = \text{actividad} \times \left(1 - \frac{\text{desocupación}}{100}\right)$$

Y sin embargo la correlación entre empleo y actividad es 0,921, alta pero nada excepcional: hay otras dos más altas en la matriz. Lo que delata la identidad no son las correlaciones sino tres números que se calculan sobre la matriz entera:

Indicador	Valor	Qué debería ser
Determinante de $R$	$6{,}6\times10^{-8}$	lejos de cero
Valor propio más chico	0,00022	lejos de cero
Número de condición	15.814	menos de 100
VIF de actividad	2.202	menos de 10
VIF de empleo	2.021	menos de 10

Sacando “empleo” de la matriz:

	Con las 10	Sin “empleo”
Determinante	$6{,}6\times10^{-8}$	$1{,}3\times10^{-4}$
VIF máximo	2.202	34
KMO	0,409	0,456

4 · Cómo se grafica

Recurso	Para qué
Mapa de calor	ver la estructura global de un vistazo
Correlograma con círculos	tamaño y color codifican magnitud y signo
Reordenado por conglomerados	agrupa las variables relacionadas; lo más útil
Matriz de dispersión	ver la forma de cada relación, no solo el número

5 · Sus límites

Solo mide relaciones lineales. Una relación en U aparece como correlación cero. Ver correlación de Pearson.

Es sensible a un solo caso

Sacando un aglomerado por vez y mirando cuál correlación se mueve más:

Sin este aglomerado	Par	$r$ pasa de	a
CABA	secundario+ / 65 y más	+0,085	−0,254
Ushuaia - Río Grande	ing. mediano / 65 y más	+0,191	+0,436
San Nicolás - Villa Constitución	empleo / 65 y más	+0,257	+0,393

Son correlaciones de a pares

No dicen si la relación entre dos variables persiste al controlar por una tercera. Para eso está la correlación parcial, y la comparación es instructiva:

Par	$r$	Parcial
Edad media / 65 y más	+0,961	+0,973
Ingreso medio / mediano	+0,960	+0,924
Empleo / actividad	+0,921	+1,000
Ingreso mediano / no registrados	−0,844	−0,014
Ingreso medio / no registrados	−0,820	−0,316

6 · Si el destino es un PCA o un factorial

Las dos verificaciones estándar:

Prueba	Qué evalúa	Criterio habitual
KMO (Kaiser-Meyer-Olkin)	si las correlaciones parciales son chicas	> 0,6 aceptable, > 0,8 bueno
Esfericidad de Bartlett	si la matriz difiere de la identidad	debe rechazar

Sobre el caso: KMO = 0,409 y Bartlett con $\chi^2 = 443{,}5$, 45 gl, $p = 6\times10^{-67}$.

Qué detecta cada una, contra la línea de base

Matrices de 10 variables, con ruido puro y con un factor débil de cargas 0,40:

	$n$	KMO medio	Bartlett rechaza
Ruido puro	32	0,435	6,5 %
Ruido puro	100	0,480	5,7 %
Ruido puro	500	0,496	5,1 %
Factor débil	32	0,534	51,6 %
Factor débil	100	0,679	99,2 %
Factor débil	500	0,796	100 %

7 · Errores frecuentes

• Saltearla y pasar directo al método multivariado.
• Mirar solo las correlaciones de a pares y no el determinante ni los VIF. Una identidad contable entre tres variables no aparece en ningún par.
• Interpretar correlaciones de a pares como si fueran efectos controlados. Acá una de −0,844 queda en −0,014 al controlar.
• Creer que la correlación parcial siempre es más chica. En este caso el promedio sube y 15 de 45 pares cambian de signo.
• Leer el KMO como si su escala fuera absoluta. Su valor con datos sin estructura sube con $n$: 0,435 con 32 casos, 0,496 con 500.
• Descartar un PCA por un KMO bajo. El KMO diagnostica factoriales.
• Tomar el rechazo de Bartlett como luz verde. Con muchos casos rechaza estructuras inservibles.
• No mirar los diagramas de dispersión, y perderse las relaciones curvas.
• Confiar en el tercer decimal con pocas filas: sacar un caso mueve una correlación 0,077 en promedio.
• Leer significación en vez de magnitud. Con muchos casos, todo da significativo.

8 · En el software

# R
R <- cor(X, use = "complete.obs")
round(R, 2)

library(corrplot)
corrplot(R, method = "circle", order = "hclust", addrect = 3)

# Lo que las correlaciones de a pares no muestran
det(R)                              # cerca de 0 = casi singular
kappa(R)                            # número de condición
diag(solve(R))                      # los VIF

# Correlaciones parciales
ppcor::pcor(X)$estimate

# Verificaciones previas al factorial
psych::KMO(R)
psych::cortest.bartlett(R, n = nrow(X))

# Python
import numpy as np, seaborn as sns
R = df.corr().to_numpy()

sns.heatmap(df.corr(), annot=True, fmt='.2f', cmap='RdBu_r',
            center=0, vmin=-1, vmax=1)
sns.clustermap(df.corr(), cmap='RdBu_r', center=0)

np.linalg.det(R)                     # determinante
np.linalg.cond(R)                    # número de condición
np.diag(np.linalg.inv(R))            # los VIF

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
  title        = {{La matriz de correlaciones}},
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