Análisis de componentes principales

1 · Qué hace

Construye nuevas variables —los componentes— que son combinaciones lineales de las originales, con dos propiedades:

1. El primero captura la mayor varianza posible; el segundo, la mayor que queda; y así.
2. Todos son no correlacionados entre sí.

2 · El ejemplo

Diez indicadores de 32 aglomerados:

Componente	Valor propio	Varianza	Acumulada
CP1	3,461	34,6 %	34,6 %
CP2	2,265	22,6 %	57,3 %
CP3	1,491	14,9 %	72,2 %
CP4	1,343	13,4 %	85,6 %

Dos componentes resumen el 57 % de la información de diez variables; cuatro, el 86 %.

3 · Cómo se interpreta un componente

Por sus cargas: cuánto pesa cada variable original en él.

Variable	Carga en CP1
Ingreso medio	+0,446
Ingreso mediano	+0,429
Edad media	+0,370
No registrados	−0,334
Actividad	+0,329

Los puntajes son la posición de cada caso en el componente: CABA tiene +5,73 y Concordia −3,41.

4 · Cuántos componentes retener

Criterio	Regla	En el ejemplo
Kaiser	valor propio > 1	4 componentes
Varianza acumulada	llegar al 70-80 %	3 o 4
Gráfico de sedimentación	buscar el codo	visual
Análisis paralelo	comparar contra datos al azar	2 componentes
Interpretabilidad	los que tengan sentido	el criterio final

El análisis paralelo compara cada valor propio contra la distribución que produce el azar:

	Real	Ruido: media	Ruido: p95
CP1	3,461	2,001	2,309
CP2	2,265	1,651	1,855
CP3	1,491	1,396	1,558

5 · Para qué se usa

Reducir dimensiones antes de otro análisis: clusters, visualización.

Visualizar datos de muchas dimensiones en dos.

Construir índices sintéticos: el primer componente es un índice con ponderaciones derivadas de los datos.

Detectar atípicos: con una advertencia

Se dice que los atípicos multivariados “aparecen alejados en el plano”. A medias: el plano solo ve los de sus dos direcciones.

#	Por el plano (2 CP)	Por Mahalanobis (10)
1	CABA	CABA
2	Ushuaia - Río Grande	Ushuaia - Río Grande
3	Comodoro Rivadavia	Santa Rosa - Toay
4	Mar del Plata - Batán	Río Gallegos
5	Neuquén - Plottier	La Rioja

6 · Sus límites

• Solo captura relaciones lineales.
• Es sensible a la escala: sin estandarizar, el CP1 de este mismo caso explica el 98,09 % y es solamente el ingreso.
• El signo de un componente es arbitrario: los programas pueden devolver el eje invertido, y eso no cambia nada.

Cuán sensible a los atípicos, exactamente

Sacando un aglomerado por vez, de los 32:

	Congruencia del CP1	Varianza del CP1
Mediana de los 32	0,9994	—
Sin CABA	0,9365	29,2 %
Sin Ushuaia - Río Grande	0,9945	37,8 %
Con los 32	1	34,6 %

7 · PCA y análisis factorial

Se confunden constantemente y responden preguntas distintas:

	PCA	Factorial
Objetivo	resumir la varianza	explicar las correlaciones
Modelo	transformación algebraica	modelo estadístico con error
Componentes/factores	combinaciones de las variables	causas latentes de las variables
Varianza que analiza	toda	solo la compartida

En qué se traduce, medido

Los dos métodos sobre los mismos 32 aglomerados, dos dimensiones:

Variable	PCA F1	Factorial F1	PCA F2	Factorial F2
Ingreso medio	−0,830	−0,884	−0,455	−0,342
Ingreso mediano	−0,798	−0,882	−0,552	−0,457
Edad media	−0,689	−0,560	+0,364	+0,366
No registrados	+0,622	+0,676	+0,699	+0,595
Actividad	−0,613	−0,547	+0,621	+0,723

Congruencia de Tucker: 0,9896 en el primero y 0,9806 en el segundo.

Y esa diferencia tiene una regla. Con estructura de un factor y matrices poblacionales —sin error de muestreo—, la comunalidad que declara cada uno contra la verdadera:

Carga	$p$	PCA dice	Factorial dice	Verdadera
0,7	10	0,541	0,490	0,490
0,4	10	0,244	0,160	0,160
0,4	30	0,188	0,160	0,160

8 · Los componentes en una regresión

La regresión sobre componentes principales se propone como solución a la multicolinealidad, porque los componentes son ortogonales por construcción. Medida contra las alternativas, con 20 predictoras correlacionadas y 40 casos —el error mínimo alcanzable es 1,0—:

Dónde vive la señal	OLS	PCR $k$=2	Ridge	Lasso	PLS $k$=2
En los primeros componentes	2,18	1,65	1,47	2,01	1,45
En una dirección cualquiera	2,15	3,64	1,81	1,98	2,17
En los últimos componentes	2,18	3,74	1,79	2,04	2,18

9 · Errores frecuentes

• No estandarizar con variables en unidades distintas.
• Retener componentes solo por el criterio de Kaiser. Con 32 casos y 10 variables, el ruido puro también da 4,52.
• Reportar la varianza explicada como si fuera precisa. Sacando un aglomerado, el 34,6 % va de 29,2 % a 37,8 %.
• Nombrar un componente que no tiene una interpretación clara.
• Interpretar el signo como si tuviera significado propio.
• Buscar atípicos solo en el biplot. La correlación de rangos con la distancia completa es 0,500.
• Usarlo con correlaciones cercanas a cero: no hay nada que reducir.
• Confundirlo con el análisis factorial, y sobre todo reportar la comunalidad del PCA como si fuera la varianza compartida: la infla hasta un 53 %.
• Usar los componentes en una regresión. Si la señal no está en los primeros, empeora un 70 %; y si está, PLS y ridge le ganan.

10 · En el software

# R
pca <- prcomp(X, scale. = TRUE)      # scale. = TRUE estandariza
summary(pca)                         # varianza explicada
pca$rotation[, 1:2]                  # las cargas
pca$x[, 1:2]                         # los puntajes

screeplot(pca, type = "lines")
biplot(pca)

psych::fa.parallel(X, fa = "pc")     # análisis paralelo: el criterio a usar

# Si el destino es predecir, PLS antes que PCR
pls::plsr(y ~ ., data = d, validation = "CV")

# Python
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

Z = StandardScaler().fit_transform(X)
pca = PCA().fit(Z)
pca.explained_variance_ratio_
pca.components_[:2]                  # cargas
pca.transform(Z)[:, :2]              # puntajes

from sklearn.cross_decomposition import PLSRegression
PLSRegression(n_components=2).fit(Z, y)

SPSS:     Analizar › Reducción de dimensiones › Factor
          (con método de extracción "Componentes principales")

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