Estandarizar antes de analizar

1 · El problema

En la matriz de aglomerados conviven variables como estas:

Variable	Rango observado
Coeficiente de Gini	0,266 a 0,539
Tasa de desocupación	0,70 a 10,38
Edad media	33,2 a 39,3
Ingreso medio	612.490 a 1.745.488

Y no es una manera de decir. Sobre estos mismos datos, el primer componente principal sin estandarizar explica el 98,09 % de la varianza y es el ingreso: las otras ocho variables tienen cargas de cero hasta el cuarto decimal. Estandarizando, ese mismo componente explica el 34,6 % y las diez variables participan.

2 · La transformación estándar

$$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$$

Deja cada variable con media 0 y desvío 1, así que todas pesan igual. Es el mismo puntaje z de la descriptiva, aplicado a cada columna.

3 · Las alternativas

Método	Fórmula	Resultado	Cuándo
Estandarización (z)	$(x-\bar{x})/s$	media 0, desvío 1	la habitual
Normalización min-max	$(x-\min)/(\max-\min)$	entre 0 y 1	redes neuronales, índices
Robusta	$(x - \text{Me})/IQR$	centrada en la mediana	con atípicos
Solo centrar	$x - \bar{x}$	media 0, escala original	cuando la escala sí importa

¿Da lo mismo cuál se use?

Se dice “estandarizá” como si la forma de hacerlo fuera un detalle. Los mismos datos, el mismo método, y lo único que cambia es el escalador:

Escalador	Varianza del CP1	Congruencia del CP1 con z	ARI de los grupos con z
Sin escalar	98,1 %	0,616	0,249
z	34,6 %	1,000	1,000
min-max	37,2 %	0,995	0,514
Robusta	35,1 %	0,948	0,401

4 · Qué métodos la necesitan, y cuánto

Ocho predictoras que aportan exactamente lo mismo, en escalas que van de 0,01 a 10.000. Error cuadrático medio fuera de muestra con 200 casos, 300 réplicas; el mínimo alcanzable es 4,0:

Método	Sin estandarizar	Estandarizando	Cociente
k-medias (ARI, más es mejor)	0,002	0,596	—
Lasso (CV)	10,201	4,193	2,43
k vecinos (k = 10)	12,116	6,537	1,85
Ridge (CV)	4,194	4,191	1,001
Mínimos cuadrados	4,192	4,192	1,000
Árbol de decisión	12,121	12,120	1,000

La asimetría entre lasso y ridge

La tabla de arriba desmiente algo que suele decirse junto: que las dos penalizadas necesitan estandarizar por igual. El lasso paga 2,43 veces el error y el ridge no paga nada.

Sin estandarizar, el lasso conserva cada variable así:

Escala de la variable	Veces que la conserva
10.000	100 %
100	99 %
1 (cinco variables)	0 %
0,01	0 %

5 · Cuándo NO estandarizar

• Cuando todas las variables están en la misma unidad y sus diferencias de escala son informativas: un cuestionario donde todos los ítems van de 1 a 5.
• Cuando se quiere que una variable pese más a propósito, con una justificación declarada.
• Cuando la variabilidad relativa es el objeto de estudio.

6 · La fuga de datos: cuál importa y cuál no

La advertencia habitual es que, con datos de entrenamiento y prueba, los parámetros de la estandarización se calculen solo con el entrenamiento. Calcularlos con todo el conjunto se presenta como una fuga que produce una evaluación optimista. Conviene medirla, porque al lado hay otra mucho peor.

Error de prueba estimado, $k$ vecinos, 400 réplicas:

Escenario	Correcto	Fuga al escalar	Fuga al seleccionar
$n$ = 100, 10 variables	2,4661	2,4648 (−0,1 %)	1,6007 (−35,1 %)
$n$ = 50, 20 variables	3,1877	3,2247 (+1,2 %)	1,9230 (−39,7 %)
$n$ = 40, 100 variables	4,0762	4,1033 (+0,7 %)	2,1892 (−46,3 %)
$n$ = 500, 10 variables	1,9727	1,9757 (+0,2 %)	1,3397 (−32,1 %)

7 · La trampa que no está en la teoría

Mínimos cuadrados es invariante al reescalado de las predictoras: eso es álgebra, no una aproximación. Pero una implementación muy usada no lo es.

Ocho predictoras, una de ellas en una escala $10^7$ veces mayor que las otras. Coeficiente estimado, multiplicado por su escala, cuando el valor correcto es 1:

Implementación	Resultado
numpy.linalg.lstsq	0,98 · 1,06 · 1,04 … todos cerca de 1
scipy.linalg.lstsq	ídem
statsmodels OLS	ídem
sklearn.LinearRegression	0,00 · 0,00 · 0,00 … y 1,22 en la variable grande

A partir de qué disparidad de escalas empieza a fallar:

Razón entre escalas	sklearn	lstsq
$10^2$ a $10^5$	bien	bien
$10^6$	falla	bien
$10^7$ y más	coeficientes en cero	bien

8 · Errores frecuentes

• No estandarizar cuando el método lo requiere. Con k-medias no es cuestión de grados: sin estandarizar el ARI es 0,002.
• No reportar qué escalador se usó en un análisis de conglomerados. Cambia la mitad de la clasificación.
• Estandarizar cuando no corresponde, borrando diferencias de escala que importaban.
• Usar min-max con atípicos.
• Suponer que lasso y ridge se comportan igual. El lasso descarta las variables de escala chica el 100 % de las veces; el ridge se apaga.
• Estandarizar la variable respuesta en una regresión sin necesidad, lo que complica la interpretación.
• Confundir las dos fugas de datos. La del escalado no infla nada; la de seleccionar variables antes de partir, hasta un 46 %.
• Estandarizar variables dummy, que ya están en una escala común.
• No guardar los parámetros usados, lo que impide aplicar el modelo a datos nuevos.

9 · En el software

# R
Z <- scale(X)                       # z por defecto
attr(Z, "scaled:center")            # las medias usadas
attr(Z, "scaled:scale")             # los desvíos

# Otras versiones
apply(X, 2, function(v) (v - min(v)) / diff(range(v)))   # min-max
apply(X, 2, function(v) (v - median(v)) / IQR(v))        # robusta

# Python — el escalador guarda los parámetros
from sklearn.preprocessing import StandardScaler, MinMaxScaler, RobustScaler
esc = StandardScaler().fit(X_entrenamiento)
Z_ent = esc.transform(X_entrenamiento)
Z_pru = esc.transform(X_prueba)      # los mismos parámetros

# Y si de verdad hace falta una regresión sin escalar:
LinearRegression(tol=1e-10)          # el default 1e-6 anula coeficientes

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