Introducción a los modelos lineales generalizados

1 · La idea

Un GLM generaliza la regresión lineal relajando dos restricciones: la respuesta ya no tiene que ser normal, y la relación con las predictoras ya no tiene que ser directa.

2 · Las tres piezas

1. La componente aleatoria: la distribución de $Y$ —normal, binomial, Poisson, gamma—.

2. El predictor lineal: siempre igual.

$$\eta = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \dots + \beta_k x_k$$

3. La función de enlace $g$, que conecta la media con el predictor lineal:

$$g(\mu) = \eta$$

3 · La tabla que ordena todo

Tipo de respuesta	Familia	Enlace	Modelo
Continua, simétrica	Normal	identidad	regresión lineal
Binaria	Binomial	logit	logística
Binaria	Binomial	log	regresión de riesgo relativo
Ordenada en $J$ categorías	Multinomial	logit acumulado	ordinal
Varias categorías sin orden	Multinomial	logit generalizado	multinomial
Conteo	Poisson	log	Poisson
Conteo sobredisperso	Binomial negativa	log	binomial negativa
Continua positiva y asimétrica	Gamma	log o inversa	modelo gamma
Proporción	Beta	logit	regresión beta

4 · Qué cambia y qué no

Lo que se mantiene:

• La estructura lineal en los parámetros.
• La interpretación “manteniendo las demás constantes”.
• Las variables dummy y las interacciones.
• La necesidad de independencia de las observaciones.

Lo que cambia:

• La estimación es por máxima verosimilitud, no por mínimos cuadrados.
• No hay $R^2$: hay devianza y pseudo-$R^2$.
• Los coeficientes están en la escala del enlace: hay que destransformarlos.
• Los residuos son de otro tipo: de devianza, de Pearson.

5 · La devianza

Es el análogo de la suma de cuadrados residual:

$$D = -2\left[\ln L_{\text{modelo}} - \ln L_{\text{saturado}}\right]$$

Sirve para comparar modelos anidados: la diferencia de devianzas se distribuye aproximadamente chi-cuadrado con los grados de libertad de la diferencia.

Es el equivalente de la prueba F para comparar modelos lineales anidados. En el caso normal la correspondencia es algebraica: sobre los mismos datos, $\chi^2 = 2F$ exactamente —30,4966 en los dos—.

6 · Elegir la familia y el enlace

Pregunta	Respuesta
¿Qué valores puede tomar $Y$?	define la familia
¿Cuál es la relación esperable?	define el enlace
¿Hay sobredispersión?	cambia la familia a una más flexible

Cuánto cuesta forzarla

Conteos con media 2 y un efecto verdadero de $IRR = 1{,}50$, 200 casos:

Método	Sesgo del efecto	Cobertura del IC	Error de predicción
Poisson	+0,2 %	0,951	1,4865
Lineal sobre el conteo	+1,3 %	—	1,5079
Lineal sobre $\log(y+1)$	+8,2 %	—	1,5308
Lineal sobre $\sqrt{y}$	+29,1 %	—	1,5390

7 · Hacia dónde se extiende

Extensión	Para qué
Modelos mixtos generalizados	datos agrupados
GEE	datos correlacionados, con foco poblacional
Modelos aditivos (GAM)	relaciones no lineales flexibles
Modelos con inflación de ceros	conteos con exceso de ceros

8 · Errores frecuentes

• Transformar la respuesta en vez de elegir la familia adecuada. Con conteos, la raíz cuadrada sobreestima el efecto un 29 %.
• Comparar modelos por devianza con muestras chicas. Con veinte casos rechaza el 12,8 % de las veces en lugar del 5 %.
• Interpretar los coeficientes en la escala del enlace.
• Ignorar la sobredispersión.
• Buscar un $R^2$ donde no lo hay.
• Usar la familia normal con conteos o proporciones.
• Olvidar que siguen exigiendo independencia.

9 · En el software

# R — una sola función para todos
glm(y ~ x, family = gaussian(link = "identity"))    # = lm()
glm(y ~ x, family = binomial(link = "logit"))       # logística
glm(y ~ x, family = poisson(link = "log"))          # Poisson
MASS::glm.nb(y ~ x)                                 # binomial negativa

# Comparar modelos anidados
anova(m1, m2, test = "Chisq")

# Verificar sobredispersión
summary(modelo)$deviance / summary(modelo)$df.residual

# Python
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
smf.glm("y ~ x", data=d, family=sm.families.Binomial()).fit()
smf.glm("y ~ x", data=d, family=sm.families.Poisson()).fit()

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