Regresión lineal múltiple

1 · El modelo

$$Y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \dots + \beta_k x_k + \varepsilon$$

2 · Qué significa “controlar por”

Es la idea central del módulo y merece decirse con precisión.

$\beta_1$ es el cambio esperado en $Y$ por una unidad de $x_1$ entre casos que tienen el mismo valor en todas las demás variables del modelo.

3 · El ejemplo

Término	$b$	Lectura
Horas semanales	14.557	a igual edad, sexo y educación
Edad	10.076	por año
Mujer	−269.859	frente a un varón con iguales horas, edad y educación
Secundario	249.541	frente a primario
Superior	726.490	frente a primario

$$R^2 = 0{,}146 \qquad R^2_{\text{aj}} = 0{,}146 \qquad s = 941.484$$

El $R^2$ pasó de 0,062 —solo horas— a 0,146. Sumar cuatro variables duplicó la capacidad explicativa, y aun así el modelo explica el 15 %.

4 · Cómo cambian los coeficientes al agregar variables

Es lo más informativo del proceso:

Modelo	Coeficiente de horas
Solo horas	15.610
Con edad, sexo y educación	14.557

La pendiente de las horas baja un 7 % al controlar. Parte de lo que parecía efecto de las horas era en realidad efecto de las otras variables, correlacionadas con ellas.

5 · Qué se puede meter en el modelo

Tipo	Cómo entra
Cuantitativa	directamente
Categórica	como variables dummy
Relación curva	con $x^2$, $\log(x)$ o splines
Efecto que depende de otra	como interacción

Por eso el modelo lineal es mucho más flexible de lo que su nombre sugiere: lo lineal son los parámetros, no la forma de la relación.

6 · Los problemas que aparecen

Problema	Entrada
Predictoras muy correlacionadas	multicolinealidad
Demasiadas variables	sobreajuste
Cuáles incluir	selección de variables
Controlar lo que no se debe	mediadores y colisionadores

7 · Cuántos casos hacen falta

Reglas prácticas: entre 10 y 20 casos por predictora como mínimo, y bastante más si se buscan interacciones o si las predictoras están correlacionadas.

Con 14.129 casos y 5 predictoras, el ejemplo está holgado. Con 60 casos y 8 predictoras, el modelo estaría contando ruido.

8 · Errores frecuentes

• Interpretar los coeficientes sin el “manteniendo constante”.
• Controlar por mediadores y concluir que no hay efecto.
• Meter todas las variables disponibles sin un orden causal pensado.
• Concluir causalidad por haber “controlado”.
• Ignorar la multicolinealidad.
• Comparar coeficientes de distintas unidades sin estandarizar.
• Usar el $R^2$ crudo para comparar modelos con distinta cantidad de variables.

9 · En el software

# R
modelo <- lm(ingreso ~ horas + edad + mujer + secundario + superior, data = d)
summary(modelo)
confint(modelo)

# Comparar el crudo con el ajustado
coef(lm(ingreso ~ horas, data = d))["horas"]        # 15610
coef(modelo)["horas"]                                # 14557

car::vif(modelo)

# Python
import statsmodels.formula.api as smf
modelo = smf.ols("ingreso ~ horas + edad + mujer + secundario + superior",
                 data=d).fit()
modelo.summary()

SPSS:     Analizar › Regresión › Lineales, con varias independientes

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