Conglomerados jerárquicos

1 · Cómo funciona

El método aglomerativo empieza con cada caso como un grupo propio y, en cada paso, une los dos grupos más cercanos. Después de $n-1$ pasos queda un solo grupo con todo.

2 · Los métodos de enlace

La distancia entre casos está definida; la distancia entre grupos, no. Cada respuesta da un método:

Método	Distancia entre grupos	Tiende a producir
Simple (vecino más cercano)	la mínima entre sus miembros	cadenas largas
Completo (vecino más lejano)	la máxima	grupos compactos
Promedio	el promedio de todas las distancias	intermedio
Centroide	entre los centros	puede invertir el árbol
Ward	el que menos aumenta la varianza interna	grupos de tamaño parecido

Cuánto decide el enlace

Los mismos 32 aglomerados, la misma distancia euclídea sobre variables estandarizadas. Tamaños de los grupos:

Enlace	$k$ = 3	$k$ = 5
Simple	28 · 3 · 1	27 · 2 · 1 · 1 · 1
Completo	25 · 4 · 3	9 · 9 · 7 · 4 · 3
Promedio	27 · 4 · 1	25 · 4 · 1 · 1 · 1
Centroide	30 · 1 · 1	25 · 4 · 1 · 1 · 1
Mediana	30 · 1 · 1	14 · 12 · 4 · 1 · 1
Ward	16 · 12 · 4	11 · 11 · 5 · 4 · 1

3 · El dendrograma

Cómo se lee:

• Cada hoja es un caso.
• Cada unión es una fusión de grupos.
• La altura de la unión indica cuán distintos eran: uniones bajas, casos muy parecidos.
• Cortar a una altura da una cantidad de grupos.

4 · Dónde cortar

Criterio	Idea
Salto grande en las alturas	cortar antes de una fusión costosa
Cantidad de grupos deseada	por razones prácticas
Interpretabilidad	el criterio que decide en la práctica
Índices de validación	silueta, Calinski-Harabasz

Las últimas alturas del árbol del ejemplo, y cuánto sube cada fusión respecto de la anterior:

Al pasar a	Altura	Cociente
6 grupos	5,24	1,05
5 grupos	6,53	1,25
4 grupos	6,60	1,01
3 grupos	8,46	1,28
2 grupos	10,13	1,20

5 · El resultado del ejemplo

Cortando en tres grupos con Ward:

Grupo	$n$	Ingreso medio	No registrados
1	16	$846.597	40,0 %
2	4	$1.537.817	17,4 %
3	12	$1.153.793	35,7 %

El grupo 2 son Comodoro Rivadavia, Neuquén, Río Gallegos y Ushuaia.

Y hay una forma de saber a qué grupo creerle

Ese grupo, enlace por enlace:

Enlace	El grupo de Ushuaia
Completo	los cuatro, exacto
Promedio	los cuatro, exacto
Ward	los cuatro, exacto
Simple	tres: pierde Comodoro
Centroide / Mediana	30 casos: se lo traga la masa

6 · Sus límites

No escala. Con más de unos miles de casos, la matriz de distancias se vuelve impracticable; ahí va k-medias.

Siempre devuelve grupos, aunque los datos sean ruido. Con 32 casos y 10 variables al azar, la silueta da 0,12 —medido en qué es el análisis multivariado—.

La irreversibilidad tiene precio

Una fusión hecha en un paso temprano no se deshace, aunque después resulte mala. Cuánto cuesta eso: cuatro grupos verdaderos, 200 casos, 6 variables, índice de Rand ajustado contra la verdad.

Separación	Simple	Completo	Promedio	Ward	k-medias
1,0	0,000	0,394	0,266	0,465	0,586
1,5	0,052	0,707	0,662	0,765	0,849
2,0	0,277	0,887	0,865	0,907	0,948
3,0	0,770	0,978	0,977	0,983	0,993

“Quedarse con la combinación que sea estable”

Es el consejo habitual, y hay que partirlo en dos. Correlación entre la estabilidad de una solución —el acuerdo entre dos submuestras del 80 %— y su acierto real:

Enlace	Estabilidad media	ARI real medio	Correlación estabilidad-acierto
Simple	0,635	0,056	+0,113
Completo	0,707	0,725	+0,745
Promedio	0,808	0,663	+0,491
Ward	0,795	0,771	+0,792

7 · Errores frecuentes

• No estandarizar antes de calcular distancias.
• Usar enlace simple con datos cuantitativos: con grupos poco separados su ARI es 0,000.
• No reportar el enlace. Con centroide o mediana, “tres grupos” son 30 casos, uno y uno.
• No verificar que la salida tenga los grupos que se pidieron. Con el árbol invertido, pedir cuatro devuelve tres y el programa no avisa.
• Presentar un grupo sin haberlo probado con otro enlace y otro corte. El que sobrevive es real; el que aparece una sola vez, no.
• Elegir el enlace por su estabilidad. Sirve dentro de un método y no entre métodos: recupera el 1 % de la brecha.
• Leer el criterio del salto como si diera una respuesta. En el ejemplo señala 5, 3 y 2 grupos a la vez.
• Leer el orden horizontal del dendrograma como si significara algo.
• Elegir la cantidad de grupos después de ver cuál conviene al relato.
• No validar que la estructura sea real.
• No describir los grupos con sus perfiles: un número de grupo sin perfil no sirve.
• Aplicarlo a decenas de miles de casos.

8 · En el software

# R
Z <- scale(X)
d <- dist(Z)                                 # euclídea
hc <- hclust(d, method = "ward.D2")

plot(hc, hang = -1)
rect.hclust(hc, k = 3)
grupos <- cutree(hc, k = 3)

# Perfil de cada grupo, que es lo que se interpreta
aggregate(X, by = list(grupo = grupos), FUN = mean)

# La validación que importa: ¿el grupo sobrevive a otro enlace?
for (m in c("ward.D2", "complete", "average")) {
  print(table(cutree(hclust(d, method = m), k = 3)))
}

cluster::silhouette(grupos, d)

# Python
from scipy.cluster.hierarchy import linkage, dendrogram, fcluster
L = linkage(Z, method='ward')
dendrogram(L, labels=nombres)
grupos = fcluster(L, 3, criterion='maxclust')

from sklearn.metrics import silhouette_score
silhouette_score(Z, grupos)

SPSS:     Analizar › Clasificar › Conglomerados jerárquicos

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