Análisis discriminante

1 · Qué hace

A diferencia de los conglomerados, acá los grupos son conocidos de antemano. El objetivo es doble:

Describir: qué combinación de variables separa mejor a los grupos.

Clasificar: asignar casos nuevos al grupo más probable.

2 · La función discriminante

Una combinación lineal de las variables:

$$D = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_p x_p$$

Los coeficientes se eligen para maximizar la separación entre grupos respecto de la variación dentro de ellos: exactamente el cociente que el ANOVA usa como estadístico F, ahora con varias variables.

Con $g$ grupos y $p$ variables hay hasta $\min(g-1, p)$ funciones discriminantes.

3 · Sus supuestos

Supuesto	Exigencia
Normalidad multivariada de las predictoras en cada grupo	moderada
Homogeneidad de las matrices de covarianza entre grupos	crítica para el lineal
Independencia	crítica
Sin multicolinealidad fuerte	moderada

Cuánto importa cada uno

Acierto fuera de muestra con dos grupos y cuatro predictoras, 400 réplicas:

Predictoras	$n$	LDA	QDA	Logística	Trivial
Normales	40	0,654	0,618	0,654	0,506
Normales	200	0,683	0,673	0,683	0,506
Asimétricas	200	0,697	0,682	0,710	0,506
Binarias	200	0,694	0,685	0,695	0,506
Covarianzas distintas	200	0,618	0,886	0,616	0,506

La M de Box responde otra pregunta

La prueba que se usa para decidir entre lineal y cuadrático está bien calibrada —rechaza el 5 % cuando las covarianzas son iguales, con $n$ de 30, 100 y 1.000—. El problema es qué se hace con su respuesta:

$n$ por grupo	Razón entre desvíos	Box rechaza	Ventaja real de QDA
30	1,15	11 %	−0,018
30	1,30	34 %	+0,000
30	2,00	100 %	+0,135
100	1,30	96 %	+0,017
1.000	1,15	100 %	+0,006

4 · Discriminante o regresión logística

	Discriminante	Logística
Supone normalidad de las predictoras	sí	no
Con más de dos grupos	natural	multinomial, más incómoda
Si los supuestos se cumplen	algo más eficiente	algo menos
Si no se cumplen	pierde poco	robusta
Uso actual	menor	predominante

Cuánto vale ese “más eficiente”, con normalidad perfecta:

$n$	$p$	$\delta$	LDA	Logística sin penalizar	Logística penalizada
30	10	2,0	0,7553	0,7332	0,7746
30	10	3,0	0,8680	0,8403	0,8943
60	10	3,0	0,9056	0,8789	0,9103
1.000	10	3,0	0,9319	0,9311	0,9313

5 · Sobre datos reales

El mismo modelo de la logística —registrado según edad, sexo y educación, 13.864 asalariados—, con tres de las cuatro predictoras binarias. Acierto por validación cruzada de cinco pliegues:

Método	Acierto
LDA	0,6821
Logística sin penalizar	0,6821
Logística	0,6816
QDA	0,6815
Asignar todo al grupo mayor	0,6260

6 · Cómo se evalúa

Con la matriz de confusión y las medidas que derivan de ella —las mismas de una prueba diagnóstica—.

7 · Dónde se usa

• Medicina: clasificar pacientes por perfil de síntomas.
• Finanzas: modelos de riesgo crediticio; los primeros de la industria fueron discriminantes.
• Biología: clasificación de especímenes por medidas morfológicas.
• Reconocimiento de patrones, donde el LDA sigue siendo una técnica base.

8 · Errores frecuentes

• Evaluar el acierto sobre los datos de entrenamiento.
• No comparar contra el acierto trivial. En el ejemplo real, 68,2 % contra 62,6 %.
• Pasar a QDA porque la M de Box rechazó. Con muchos casos rechaza diferencias que valen medio punto, y con pocos casos QDA es peor aunque la violación sea real.
• Quedarse en LDA con covarianzas muy distintas. Ahí sí: 0,618 contra 0,886 de QDA, y la logística tampoco sirve porque también es lineal.
• Descartarlo por tener predictoras categóricas. Con tres de cuatro binarias empata con la logística.
• Ignorar el desbalance entre grupos, que sesga la clasificación hacia el más numeroso.
• Confundirlo con conglomerados: acá los grupos se conocen de antemano.
• Interpretar los coeficientes sin estandarizar las variables.

9 · En el software

# R
library(MASS)
modelo <- lda(grupo ~ ., data = datos)
modelo                                  # coeficientes y proporción de traza

pred <- predict(modelo)
table(pred$class, datos$grupo)          # matriz de confusión

# Validación cruzada dejando uno afuera: lo que hay que reportar
lda(grupo ~ ., data = datos, CV = TRUE)

qda(grupo ~ ., data = datos)            # cuadrático
biotools::boxM(datos[, -1], datos$grupo)  # M de Box: informativa, no decisoria

# La comparación que sí decide entre lineal y cuadrático
mean(lda(grupo ~ ., data = datos, CV = TRUE)$class == datos$grupo)
mean(qda(grupo ~ ., data = datos, CV = TRUE)$class == datos$grupo)

# Python
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
from sklearn.model_selection import cross_val_score

lda = LinearDiscriminantAnalysis().fit(X, y)
cross_val_score(lda, X, y, cv=5)

SPSS:     Analizar › Clasificar › Discriminante

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