Conglomerados por k-medias

1 · El algoritmo

1. Elegir $k$ y ubicar $k$ centroides iniciales.
2. Asignar cada caso al centroide más cercano.
3. Recalcular cada centroide como la media de sus casos.
4. Repetir 2 y 3 hasta que las asignaciones no cambien.

2 · Sus dos características incómodas

Hay que elegir $k$ de antemano. A diferencia del jerárquico, no construye toda la estructura.

El resultado depende del punto de partida. Con centroides iniciales distintos puede converger a soluciones distintas: el algoritmo encuentra un mínimo local, no necesariamente el mejor.

Cuánto cuesta correrlo una sola vez

Inercia de una corrida con un solo inicio, comparada con la de 25 inicios —300 casos, 6 variables—:

$k$	Separación	Exceso medio	Exceso de la peor corrida	ARI con 1 inicio	ARI con 25
3	1,5	0,8 %	10,8 %	0,878	0,890
5	1,5	2,2 %	14,7 %	0,802	0,838
8	1,5	3,0 %	11,3 %	0,691	0,742
5	3,0	4,7 %	52,5 %	0,965	0,989

3 · Cómo se elige k

Método	Idea
Codo	graficar la inercia contra $k$ y buscar el quiebre
Silueta	cuán bien está asignado cada caso; maximizar el promedio
Gap statistic	comparar contra datos uniformes
Conocimiento del problema	el criterio que más pesa

$k$	Inercia
1	310,0
2	236,9
3	191,6
4	161,9
5	138,4
6	123,7

Cómo se ve un codo de verdad

Lo que cae la inercia en cada paso, con 32 casos y 10 variables en tres situaciones:

	1→2	2→3	3→4	4→5	5→6
Tres grupos separados	47,9 %	58,7 %	9,0 %	9,1 %	8,0 %
El caso	23,6 %	19,1 %	15,5 %	14,5 %	10,6 %
Ruido puro	16,3 %	15,0 %	9,9 %	10,0 %	7,8 %

4 · Qué formas puede encontrar

Índice de Rand ajustado contra la verdad, 400 casos, dos dimensiones. A DBSCAN se le da el mejor $\varepsilon$ de una grilla en cada réplica, que es una ventaja que en la práctica no se tiene:

Si los grupos son	k-medias	Mezclas	Espectral	DBSCAN
Esféricos, tamaño parecido	0,914	0,908	0,904	0,723
Tamaños 80/10/10	0,940	0,967	0,900	0,940
Densidades muy distintas	0,746	0,970	0,930	0,938
Alargados (dos barras)	0,002	0,019	1,000	1,000
Dos lunas	0,247	0,493	0,959	0,999
Círculos anidados	−0,002	−0,002	1,000	1,000

Si los grupos son	Método adecuado
Esféricos	k-medias
De formas arbitrarias	clustering espectral; DBSCAN si se puede ajustar $\varepsilon$
De densidades distintas	mezclas gaussianas
Con solapamiento	mezclas gaussianas
Con atípicos	k-medoides (PAM), más robusto

El k-medoides usa casos reales como centros en lugar de promedios, lo que lo vuelve robusto a valores extremos.

5 · K-medias o jerárquico

	K-medias	Jerárquico
Cantidad de casos	miles o millones	hasta unos pocos miles
$k$	hay que fijarlo	se decide después
Resultado	depende del inicio	determinista
Salida visual	ninguna propia	dendrograma
Costo	bajo	alto

Cuál acierta más, con cuatro grupos verdaderos y 300 casos:

Separación	k-medias (25 inicios)	Inicializado con Ward	Ward solo
1,0	0,602	0,592	0,476
1,5	0,848	0,848	0,768
2,5	0,978	0,977	0,962

6 · Validar los grupos

Ningún método dice si los grupos existen de verdad. K-medias con $k = 3$ sobre ruido devuelve tres grupos igual de prolijos.

La silueta no tiene un umbral absoluto

Silueta promedio que devuelve el ruido puro con $k = 3$:

$n$	$p$=2	$p$=5	$p$=10	$p$=50
30	0,385	0,196	0,116	0,032
100	0,359	0,163	0,092	0,024
500	0,341	0,140	0,074	0,019

Las verificaciones que sí sirven:

• Comparar la silueta contra la del ruido con el mismo $n$ y el mismo $p$.
• Estabilidad: correrlo sobre submuestras y ver si los grupos se mantienen —dentro de un mismo método, que es donde informa—.
• Perfil sustantivo: que los grupos se distingan en variables que no se usaron para formarlos.

7 · Errores frecuentes

• No estandarizar. Sin estandarizar, k-medias recupera los grupos verdaderos con un ARI de 0,002: ver estandarizar.
• Correrlo una sola vez. Entre veinte corridas de un inicio siempre hay alguna con un 11 a 52 % más de inercia, y la salida no avisa.
• No fijar la semilla, lo que impide reproducir el resultado.
• Leer la silueta contra un umbral fijo. Con dos variables el ruido ya da 0,38; con cincuenta, una de 0,10 es mucho.
• Buscar un codo donde no lo hay. Uno de verdad cae de 58,7 % a 9,0 %; el del caso baja suave, como el del ruido.
• Elegir $k$ por conveniencia narrativa.
• Usarlo con grupos de forma no esférica. Con grupos alargados o anidados el ARI es 0,00.
• Descartarlo por tener grupos de tamaños dispares: con 80/10/10 anda igual de bien.
• Aplicarlo a variables categóricas codificadas como números.
• Presentar los grupos como reales sin ninguna validación.
• No describir los perfiles.

8 · En el software

# R
set.seed(2026)
Z <- scale(X)

km <- kmeans(Z, centers = 3, nstart = 25)    # nstart es imprescindible
km$cluster; km$centers; km$tot.withinss

# El codo
inercia <- sapply(1:8, function(k) kmeans(Z, k, nstart = 25)$tot.withinss)
plot(1:8, inercia, type = "b")

# La silueta contra su propia línea de base, que es la comparación válida
ruido <- replicate(200, {
  R <- matrix(rnorm(nrow(Z) * ncol(Z)), nrow(Z))
  mean(cluster::silhouette(kmeans(R, 3, nstart = 10)$cluster, dist(R))[, 3])
})
quantile(ruido, 0.95)

# Robusto a atípicos
cluster::pam(Z, k = 3)

# Python
from sklearn.cluster import KMeans, SpectralClustering
from sklearn.metrics import silhouette_score

km = KMeans(n_clusters=3, n_init=25, random_state=2026).fit(Z)
km.labels_; km.cluster_centers_; km.inertia_
silhouette_score(Z, km.labels_)

# Si los grupos no son esféricos
SpectralClustering(3, affinity='nearest_neighbors', n_neighbors=10).fit_predict(Z)

SPSS:     Analizar › Clasificar › Conglomerados de K medias

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