Medidas de distancia y similitud

1 · Qué es una distancia

Una función que asigna a cada par de casos un número, con tres propiedades:

$$d(a,b) \ge 0 \qquad d(a,b) = d(b,a) \qquad d(a,c) \le d(a,b) + d(b,c)$$

La tercera es la desigualdad triangular: el camino directo nunca es más largo que el que pasa por un tercer punto.

2 · Para variables cuantitativas

Distancia	Fórmula	Característica
Euclídea	$\sqrt{\sum (x_i - y_i)^2}$	la habitual; sensible a valores extremos
Manhattan	$\sum \|x_i - y_i\|$	más robusta a atípicos
Minkowski	$(\sum \|x_i-y_i\|^p)^{1/p}$	generaliza las dos anteriores
Chebyshev	$\max_i \|x_i - y_i\|$	solo mira la peor diferencia
Mahalanobis	tiene en cuenta la covarianza	corrige la correlación entre variables
Coseno	ángulo entre vectores	ignora la magnitud; textos

3 · Cuánto cambia el resultado

Los mismos 32 aglomerados estandarizados, el mismo algoritmo, y lo único que cambia es la distancia. Índice de Rand ajustado contra los grupos de la euclídea:

Distancia	Correlación con la euclídea	$k$=2	$k$=3	$k$=4	$k$=5
Manhattan	0,979	0,44	0,76	0,38	0,45
Minkowski $p$=3	0,991	0,44	0,61	0,36	0,23
Chebyshev	0,907	0,11	0,52	0,24	0,20
Coseno	0,635	0,36	0,21	0,13	0,38
Mahalanobis	0,746	0,31	0,25	0,16	0,03

(enlace completo)

4 · La de Mahalanobis

$$d^2 = (\mathbf{x} - \mathbf{y})' \, \mathbf{S}^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{y})$$

Corrige por la estructura de correlaciones: si dos variables están muy correlacionadas, la euclídea las cuenta dos veces y Mahalanobis no.

También es la herramienta estándar para detectar atípicos multivariados: casos que no son extremos en ninguna variable por separado pero sí en la combinación. Con una condición que casi nunca se verifica.

El techo algebraico

$$d^2 \le \frac{(n-1)^2}{n}$$

Es una cota dura: con $n$ casos, ninguna distancia de Mahalanobis al centro puede superarla, por extremo que sea el punto.

$n$	Techo	Umbral $\chi^2_{10}$ al 97,5 %
12	10,08	20,48 — inalcanzable
15	13,07	20,48 — inalcanzable
20	18,05	20,48 — inalcanzable
30	28,03	20,48
100	98,01	20,48

Y aun con margen, la detección tarda en servir. Un atípico verdadero, puesto a 4 desvíos en una de 10 variables:

$n$	Casos por variable	Lo marca	Falsos positivos
20	2	0,0 %	0,0 %
30	3	4,7 %	0,1 %
50	5	31,3 %	0,7 %
100	10	54,2 %	1,5 %
500	50	84,5 %	2,3 %

En el caso

Con 32 aglomerados y 10 variables, el techo es 30,03 y el umbral 20,48, así que hay margen. Los tres más lejanos:

Aglomerado	$d^2$	Su $z$ más extremo
CABA	20,78	secundario+ +3,50
Ushuaia - Río Grande	19,84	ing. mediano +2,59
Santa Rosa - Toay	18,77	Gini +3,16

5 · Para variables binarias o categóricas

Medida	Idea
Jaccard	coincidencias en 1, ignorando las coincidencias en 0
Coincidencia simple	proporción de atributos iguales
Gower	combina variables de distinto tipo en una sola distancia

La distancia de Gower es la salida práctica cuando hay variables cuantitativas, ordinales y nominales en la misma tabla.

6 · Distancia y similitud

Son dos caras de lo mismo: a mayor similitud, menor distancia. Las conversiones habituales son $d = 1 - s$ o $d = \sqrt{2(1-s)}$ cuando $s$ es una correlación.

Las correlaciones se usan como similitud para agrupar variables —en vez de casos—, que es lo que hace un correlograma reordenado.

7 · Muchas dimensiones: qué falla de verdad

Se dice que en muchas dimensiones las distancias “se concentran” y dejan de discriminar, y que conviene pasar a Manhattan. Las dos mitades merecen revisión.

El contraste relativo $(d_{\max} - d_{\min})/d_{\min}$ entre 200 puntos al azar, según la dimensión:

Dimensiones	Euclídea	Manhattan	Minkowski 3	Fraccional 0,5
2	719,3	1.169,3	689,1	802,2
10	6,09	7,53	6,69	8,86
50	1,24	1,38	1,34	1,67
1.000	0,19	0,21	0,20	0,24

Pero que el contraste caiga no significa que la búsqueda falle. Un punto y su copia con ruido, entre 199 distractores; porcentaje de veces que la copia resulta ser la más cercana:

Dimensiones útiles	De ruido	Euclídea	Manhattan	Fraccional 0,5
5	0	51,0 %	46,2 %	39,8 %
25	0	100 %	100 %	100 %
305	0	100 %	100 %	100 %
5	5	15,8 %	17,0 %	15,2 %
5	20	5,0 %	7,5 %	6,5 %
5	100	1,5 %	1,8 %	2,2 %
5	300	0,5 %	0,8 %	1,2 %

8 · Por qué importa estandarizar antes

$$d = \sqrt{(\text{ingreso}_a - \text{ingreso}_b)^2 + (\text{gini}_a - \text{gini}_b)^2 + \dots}$$

Con ingresos en cientos de miles y Gini en centésimas, el primer término domina por completo. Ver estandarizar, donde está medido: sin estandarizar, k-medias recupera los grupos verdaderos con un ARI de 0,002.

9 · Errores frecuentes

• Calcular distancias sin estandarizar.
• Declarar la distancia y no el enlace. El efecto de una depende del otro: con enlace promedio las tres Minkowski dan grupos idénticos y con enlace completo, un ARI de 0,44.
• Suponer que dos matrices de distancia parecidas dan grupos parecidos. Correlacionan 0,979 y coinciden en 0,44.
• Usar Mahalanobis con pocos casos. Con 10 variables y 20 casos, el umbral de detección es aritméticamente inalcanzable.
• Usar Mahalanobis con colinealidad fuerte: invierte una matriz casi singular.
• Cambiar de norma para resolver la alta dimensión. Manhattan compra un 10 % de contraste; sacar variables irrelevantes es lo que resuelve.
• Aplicar distancias cuantitativas a variables categóricas codificadas como números.
• Suponer que la elección no afecta los grupos resultantes.

10 · En el software

# R
dist(X)                               # euclídea, por defecto
dist(X, method = "manhattan")
dist(X, method = "minkowski", p = 3)

mahalanobis(X, colMeans(X), cov(X))   # atípicos multivariados
qchisq(0.975, df = ncol(X))           # el umbral, que hay que comparar
(nrow(X) - 1)^2 / nrow(X)             # el techo: si es menor, no marca a nadie

cluster::daisy(datos, metric = "gower")   # tipos mixtos

# Python
from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
squareform(pdist(Z, metric='euclidean'))
pdist(Z, metric='cityblock')
pdist(Z, metric='mahalanobis', VI=np.linalg.inv(np.cov(Z.T)))

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