Medidas de distancia y similitud

1 · Qué es una distancia

Una función que asigna a cada par de casos un número, con tres propiedades:

$$d(a,b) \ge 0 \qquad d(a,b) = d(b,a) \qquad d(a,c) \le d(a,b) + d(b,c)$$

La tercera es la desigualdad triangular: el camino directo nunca es más largo que el que pasa por un tercer punto.

2 · Para variables cuantitativas

Distancia	Fórmula	Característica
Euclídea	$\sqrt{\sum (x_i - y_i)^2}$	la habitual; sensible a valores extremos
Manhattan	$\sum \|x_i - y_i\|$	más robusta a atípicos
Minkowski	$(\sum \|x_i-y_i\|^p)^{1/p}$	generaliza las dos anteriores
Mahalanobis	tiene en cuenta la covarianza	corrige la correlación entre variables
Coseno	ángulo entre vectores	ignora la magnitud; textos

3 · La de Mahalanobis

$$d^2 = (\mathbf{x} - \mathbf{y})' \, \mathbf{S}^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{y})$$

Corrige por la estructura de correlaciones: si dos variables están muy correlacionadas, la euclídea las cuenta dos veces y Mahalanobis no.

También es la herramienta estándar para detectar atípicos multivariados: casos que no son extremos en ninguna variable por separado pero sí en la combinación.

4 · Para variables binarias o categóricas

Medida	Idea
Jaccard	coincidencias en 1, ignorando las coincidencias en 0
Coincidencia simple	proporción de atributos iguales
Gower	combina variables de distinto tipo en una sola distancia

La distancia de Gower es la salida práctica cuando hay variables cuantitativas, ordinales y nominales en la misma tabla.

5 · Distancia y similitud

Son dos caras de lo mismo: a mayor similitud, menor distancia. Las conversiones habituales son $d = 1 - s$ o $d = \sqrt{2(1-s)}$ cuando $s$ es una correlación.

Las correlaciones se usan como similitud para agrupar variables —en vez de casos—, que es lo que hace un correlograma reordenado.

6 · Por qué importa estandarizar antes

$$d = \sqrt{(\text{ingreso}_a - \text{ingreso}_b)^2 + (\text{gini}_a - \text{gini}_b)^2 + \dots}$$

Con ingresos en cientos de miles y Gini en centésimas, el primer término domina por completo. Ver estandarizar.

7 · Errores frecuentes

• Calcular distancias sin estandarizar.
• Usar la euclídea con variables muy correlacionadas, que las cuenta doble.
• Aplicar distancias cuantitativas a variables categóricas codificadas como números.
• Usar Mahalanobis con pocos casos o con colinealidad: la matriz no se puede invertir bien.
• No declarar la distancia elegida, que es parte del método.
• Suponer que la elección no afecta los grupos resultantes.

8 · En el software

# R
dist(X)                               # euclídea, por defecto
dist(X, method = "manhattan")
dist(X, method = "minkowski", p = 3)

mahalanobis(X, colMeans(X), cov(X))   # atípicos multivariados

cluster::daisy(datos, metric = "gower")   # tipos mixtos

# Python
from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
squareform(pdist(Z, metric='euclidean'))
pdist(Z, metric='cityblock')
pdist(Z, metric='mahalanobis')

@misc{estadistica_ar_medidas_de_distancia,
  author       = {Montivero, Jorge Luis},
  title        = {{Medidas de distancia y similitud}},
  year         = {2026},
  howpublished = {\url{https://estadistica.ar/conceptos/medidas-de-distancia}},
  note         = {estadistica.ar. Consultado el \today},
  urldate      = {2026-09-19}
}