Distribución muestral de la media

1 · Definición

La distribución muestral de la media es la distribución de todos los valores que podría tomar $\bar{x}$ si se repitiera el muestreo infinitas veces sobre la misma población.

2 · El cambio de perspectiva

Hasta acá, una distribución describía datos: los ingresos de las personas, las edades de los ocupados. Acá la distribución describe un estadístico.

Cada punto de esta distribución no es una persona: es una muestra entera, resumida en su media.

$$\text{muestra 1} \rightarrow \bar{x}_1 \qquad \text{muestra 2} \rightarrow \bar{x}_2 \qquad \ldots$$

Ese conjunto de medias tiene su propia forma, su propio centro y su propia dispersión. Y como es una distribución, se le pueden calcular probabilidades: qué tan probable es obtener una media tan lejos de $\mu$ como la que obtuvimos.

De ahí sale toda la inferencia.

3 · Sus tres propiedades

Si la muestra es aleatoria y de tamaño $n$, extraída de una población con media $\mu$ y desvío $\sigma$:

El centro. La media de todas las medias posibles es la media poblacional:

$$\mu_{\bar{x}} = \mu$$

Por eso se dice que $\bar{x}$ es un estimador insesgado: no apunta sistemáticamente ni para arriba ni para abajo.

La dispersión. El desvío de las medias es más chico que el de los datos, y se achica al crecer $n$:

$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Ese valor se llama error estándar.

La forma. Tiende a la normal a medida que $n$ crece, sea cual sea la forma de la población. Eso es el teorema central del límite.

4 · Por qué es más angosta que la población

Es la parte que más cuesta al principio, y tiene una explicación intuitiva.

Para que una persona tenga un ingreso muy alto, alcanza con que sea una persona de ingreso alto. Para que la media de 50 personas sea muy alta, tienen que haber caído 50 personas de ingreso alto en la misma muestra, lo cual es muchísimo más improbable.

Con el ingreso de la EPH, la probabilidad de superar el doble de la media —2.208.454 pesos—:

	Probabilidad	Es decir
Una persona sola	0,0818	1 de cada 12
La media de 10 personas	0,0073	1 de cada 137
La media de 50 personas	0,00004	1 de cada 25.000

5 · Un ejemplo con datos reales

Tomando la distribución del ingreso de la ocupación principal de la EPH como población —media $1.104.227, desvío $1.063.114— y simulando 20.000 muestras para cada tamaño:

$n$	Media de las medias	Desvío observado	$\sigma/\sqrt{n}$
2	$1.104.288	$747.790	$751.735
10	$1.107.811	$338.734	$336.186
50	$1.104.275	$149.843	$150.347

Las dos propiedades se ven directamente:

• La media de las medias reproduce a $\mu$ en los tres casos, con tres o cuatro cifras de coincidencia.
• El desvío observado coincide con $\sigma/\sqrt{n}$ hasta el tercer dígito.

Y se ve el efecto de la raíz: pasar de $n=2$ a $n=50$ —25 veces más casos— reduce el desvío 5 veces, no 25. Multiplicar por cuatro la muestra reduce el error a la mitad.

6 · Cada estadístico tiene la suya

La entrada habla de la media porque es el caso central, pero todo estadístico tiene su distribución muestral: la mediana, el desvío, un porcentaje, el máximo. Y no se parecen entre sí.

Comparando la media con la mediana sobre el mismo ingreso:

$n$	EE de la media	EE de la mediana	Cociente
25	211.670	150.965	0,71
50	150.082	103.951	0,69
100	109.173	78.889	0,72

Y hay una sorpresa que muestra hasta qué punto cada estadístico va por su cuenta. La distribución muestral de la mediana del ingreso es casi discreta: con $n = 1.600$, el 91 % de las muestras arroja uno de apenas cinco valores, y el 76 % da exactamente 900.000.

Mediana obtenida	Proporción de muestras
900.000	76 %
850.000	10 %
800.000	3 %
Otros 83 valores	11 %

7 · La distribución que nunca se observa

Un punto que conviene tener claro: en un estudio real se toma una sola muestra. La distribución muestral no se observa nunca.

Entonces, ¿de qué sirve? De que se conoce su forma sin necesidad de observarla. Las tres propiedades de arriba son resultados teóricos: valen siempre que el muestreo sea aleatorio.

Eso permite dar vuelta el razonamiento: sabiendo cómo se comportan las medias alrededor de $\mu$, se puede calcular con qué precisión una media concreta estima a $\mu$. Ese es exactamente el contenido de un intervalo de confianza.

8 · Errores frecuentes

• Confundirla con la distribución de los datos. Una describe personas; la otra, medias de muestras.
• Confundir $\sigma$ con $\sigma_{\bar{x}}$. El primero es el desvío de los datos; el segundo, el de las medias, y es $\sqrt{n}$ veces más chico.
• Creer que hace falta tomar muchas muestras. Se toma una. La teoría aporta el resto.
• Pensar que la distribución muestral tiene la forma de la población. Con $n$ suficiente tiende a normal aunque la población no lo sea.
• Extender “tiende a normal” a cualquier estadístico. Es un enunciado sobre la media. La distribución muestral de la mediana del ingreso es casi discreta.
• Olvidar que todo esto supone muestreo probabilístico. Con una muestra por conveniencia, ninguna de las tres propiedades está garantizada. Y la fórmula $\sigma/\sqrt{n}$, tal como está, es la del aleatorio simple: con conglomerados o estratos el error estándar cambia y hay que calcularlo con el diseño.

9 · Simularlo

# R — ver la distribución muestral con los propios datos
set.seed(1976)
medias <- replicate(10000, mean(sample(datos$ingreso, size = 50)))

hist(medias, breaks = 40)
mean(medias)                    # ≈ la media poblacional
sd(medias)                      # ≈ sd(datos$ingreso) / sqrt(50)

# Python
rng = np.random.default_rng(1976)
medias = np.array([rng.choice(x, 50).mean() for _ in range(10000)])
medias.mean(), medias.std(ddof=1)

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  title        = {{Distribución muestral de la media}},
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