Insesgadez, consistencia y eficiencia

1 · Las tres propiedades

Insesgadez. En promedio, sobre todas las muestras posibles, el estimador da el valor verdadero:

$$E(\hat{\theta}) = \theta$$

Consistencia. Al crecer $n$, el estimador converge al parámetro. Es la ley de los grandes números aplicada a un estimador cualquiera.

Eficiencia. Entre dos estimadores insesgados, es más eficiente el de menor varianza: el que se mueve menos de muestra en muestra.

2 · La analogía del tiro al blanco

Con el centro como el parámetro verdadero y cada disparo como una muestra distinta:

	Insesgado	Sesgado
Eficiente	Tiros juntos y en el centro: el ideal	Tiros juntos pero corridos: el peor caso
Ineficiente	Tiros dispersos alrededor del centro	Tiros dispersos y corridos

El peor caso no es el desastre evidente sino el sesgado y eficiente: los resultados son muy consistentes entre sí y consistentemente equivocados. La consistencia se confunde con exactitud.

3 · Insesgadez en la práctica

La media muestral es insesgada. $E(\bar{x}) = \mu$, siempre, con cualquier $n$. Es lo que se verifica en la simulación del teorema central del límite: la media de las medias reproduce a $\mu$ en los tres tamaños probados.

La varianza con $n$ en el denominador es sesgada. Subestima sistemáticamente a $\sigma^2$. Dividir por $n-1$ corrige exactamente ese sesgo, y es toda la razón de esa fórmula rara. Ver por qué n−1.

4 · Eficiencia: media o mediana

Es la aplicación más concreta de la tercera propiedad.

Los dos estiman el centro. Cuál conviene depende de la forma de la distribución:

Distribución	Estimador más eficiente
Normal	Media (unas 1,57 veces más eficiente que la mediana)
Con colas pesadas	Mediana
Con valores extremos o errores	Mediana

En una normal, usar la mediana equivale a tirar cerca de un tercio de la muestra: haría falta un $n$ bastante mayor para lograr la misma precisión que con la media.

Pero con una distribución como la del ingreso —asimetría 5,46— esa ventaja desaparece y la robustez de la mediana pesa más.

5 · El intercambio sesgo–varianza

Hay situaciones donde conviene un estimador levemente sesgado si a cambio es mucho más estable.

La medida que combina las dos cosas es el error cuadrático medio:

$$ECM(\hat{\theta}) = \text{Var}(\hat{\theta}) + \bigl[\text{sesgo}(\hat{\theta})\bigr]^2$$

Un estimador con algo de sesgo y poca varianza puede tener menor ECM que uno insesgado y muy variable. Es la lógica detrás de varios métodos modernos —regresión penalizada, estimadores de encogimiento— y de casi todo el aprendizaje automático.

6 · Errores frecuentes

• Confundir insesgado con exacto. Insesgado significa que acierta en promedio, no que acierte en tu muestra.
• Confundir consistencia con insesgadez. Un estimador puede ser sesgado y consistente: el sesgo desaparece al crecer $n$.
• Buscar siempre el insesgado. A veces conviene sacrificar algo de sesgo por mucha varianza menos.
• Creer que la media es siempre mejor que la mediana. Lo es en distribuciones simétricas; no con colas pesadas.
• Pensar que las propiedades garantizan un buen resultado. Todas suponen muestreo aleatorio. Con una muestra sesgada, el mejor estimador converge al valor equivocado.

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