Distribución muestral de la proporción

1 · Definición

Una proporción es la fracción de casos que tienen cierta característica: cuántos la tienen, divididos por el total. Si de 400 personas encuestadas 120 están desocupadas, la proporción de desocupados es 120/400 = 0,30, o sea el 30 %. Es el resumen natural de una variable con dos categorías —sí o no, ocupado o desocupado, aprobó o no aprobó—, y es el número que informa casi cualquier encuesta.

Hay que distinguir dos proporciones con símbolos distintos:

• $\pi$ es la proporción en la población: el valor verdadero, el que se quiere conocer y casi nunca se conoce. Acá $\pi$ no es el 3,1416 de la geometría; se usa la letra griega porque es la costumbre para los parámetros, como $\mu$ para la media poblacional.
• $\hat{p}$ —se lee “p sombrero”— es la proporción en la muestra: la que se calcula con los datos y se usa para estimar $\pi$. El sombrero indica que es una estimación.

La distribución muestral de la proporción es la distribución de los valores que tomaría $\hat{p}$ si se repitiera el muestreo muchas veces: cada muestra da un $\hat{p}$ un poco distinto, y esa distribución describe cuánto varían alrededor de $\pi$.

2 · Por qué es un caso particular de la media

Codificá la característica de interés como 1 y su ausencia como 0. El promedio de esa columna es exactamente la proporción:

$$\hat{p} = \frac{\text{cantidad de unos}}{n} = \bar{x}$$

Por eso todo lo que vale para la media vale acá: el centro, el error estándar, el teorema central del límite. Lo único que cambia es que la varianza no es un parámetro libre, porque queda determinada por la propia proporción.

3 · Sus propiedades

El centro. $\hat{p}$ es insesgado:

$$\mu_{\hat{p}} = \pi$$

El error estándar. Depende solo de $\pi$ y de $n$:

$$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\pi\,(1-\pi)}{n}}$$

y en la práctica, sin conocer $\pi$, se lo estima con $\hat{p}$.

La forma. Tiende a normal al crecer $n$, por el TCL.

4 · La varianza máxima está en 0,5

El producto $\pi(1-\pi)$ alcanza su máximo en $\pi = 0{,}5$:

$\pi$	$\pi(1-\pi)$	Error estándar con $n = 1000$
0,10	0,090	0,0095
0,30	0,210	0,0145
0,50	0,250	0,0158
0,70	0,210	0,0145
0,90	0,090	0,0095

De ahí sale la convención de usar $\pi = 0{,}5$ cuando no se tiene información previa para calcular el tamaño de muestra: es el valor que exige más casos, así que garantiza la precisión buscada sea cual sea la proporción real.

5 · Cuándo vale la aproximación normal

La condición habitual es que haya suficientes casos en las dos categorías:

$$n\hat{p} \ge 10 \qquad\text{y}\qquad n(1-\hat{p}) \ge 10$$

Algunos textos usan 5 en lugar de 10. Conviene usar 10: es la exigencia más prudente, y con 5 la aproximación ya falla de manera visible —con $n = 100$ y $\pi = 0{,}05$, justo en el límite de 5 casos, el intervalo simple cubre 87,75 % cuando declara 95 %, como muestra la sección 7—. Pero tampoco 10 garantiza que funcione bien, y por eso la recomendación de fondo no es elegir el umbral sino usar un intervalo que no dependa de él.

Si no se cumple —proporciones muy chicas o muestras chicas— la distribución muestral queda asimétrica y la aproximación normal falla. Ahí hay que usar métodos exactos basados en la distribución binomial.

6 · El margen de error de las encuestas

De acá sale el número que aparece en toda encuesta de opinión.

Con $\pi = 0{,}5$, confianza del 95 % y $n = 1000$:

$$e = 1{,}96 \sqrt{\frac{0{,}5 \times 0{,}5}{1000}} = 0{,}031$$

o sea ± 3,1 puntos porcentuales. Por eso casi todas las encuestas nacionales informan alrededor de ± 3 puntos: no es casualidad, es que casi todas usan muestras de alrededor de mil casos.

Y explica por qué agrandar la muestra rinde tan poco: para bajar a ± 1,5 puntos haría falta cuadruplicarla.

7 · Qué tan bien funciona cada intervalo

Un intervalo de confianza del 95 % promete que, si se repitiera el muestreo muchas veces, 95 de cada 100 intervalos contendrían al valor verdadero $\pi$. Ese porcentaje real de aciertos se llama cobertura. Si un método cumple lo que promete, su cobertura es 95 %; si da menos, el intervalo es más angosto de lo que debería y exagera la precisión.

Para la proporción hay dos métodos que conviene comparar:

• Wald es la fórmula simple que se enseña primero: $\hat{p} \pm 1{,}96\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$. Usa la aproximación normal de la sección 5 tal cual.
• Wilson es una fórmula algo más larga que corrige el centro y el ancho del intervalo cuando la proporción está cerca de 0 o de 1. Se explica en intervalo de confianza para la proporción.

La proporción tiene además una ventaja poco común: la cobertura no hay que simularla, se puede calcular exacta. Con $n$ y $\pi$ fijos, la cantidad de casos con la característica solo puede tomar los valores 0, 1, 2… hasta $n$, y la distribución binomial da la probabilidad de cada uno. Para cada valor posible se arma el intervalo y se mira si contiene a $\pi$; la cobertura es la suma de las probabilidades de los valores cuyo intervalo acierta.

La tabla muestra esa cobertura para distintos $n$ y $\pi$. La columna $n\pi$ es la cantidad esperada de casos con la característica, la misma que pide la condición de la sección 5. Lo que hay que mirar es cuánto se aleja cada método del 95 %:

$n$	$\pi$	$n\pi$	Wald (fórmula simple)	Wilson
50	0,50	25	93,51 %	93,51 %
1.000	0,50	500	94,63 %	94,63 %
200	0,10	20	92,71 %	95,61 %
100	0,05	5	87,75 %	96,59 %
400	0,02	8	89,51 %	95,42 %

Y la condición de la sección 5 no alcanza

La fila de $n = 200$ y $\pi = 0{,}10$ cumple holgadamente $n\hat{p} \ge 10$ —tiene 20— y aun así Wald cubre 92,71 %. Peor: la cobertura ni siquiera mejora de manera ordenada al crecer $n$. Con $\pi = 0{,}20$:

$n$	$n\pi$	Wald	Wilson
46	9,2	90,64 %	95,86 %
50	10,0	93,75 %	95,07 %
52	10,4	95,33 %	96,48 %
54	10,8	92,00 %	94,09 %
60	12,0	92,24 %	96,58 %

8 · Errores frecuentes

• Aplicar la fórmula con pocos casos en una categoría. Con $n = 100$ y $\pi = 0{,}05$, el intervalo del 95 % cubre el 87,75 %.
• Confiar en que $n\hat{p} \ge 10$ alcanza. Con $n = 200$ y $\pi = 0{,}10$ la condición se cumple de sobra y Wald igual cubre 92,71 %. La salida es usar Wilson, no chequear más condiciones.
• Informar intervalos que se salen de [0, 1]. Señal inequívoca de que la aproximación normal no correspondía.
• Usar el margen de error global para subgrupos. Si la encuesta tiene ± 3 puntos con 1.000 casos, el subgrupo de 150 casos tiene ± 8. Es el error más común al leer encuestas en los medios.
• Olvidar el diseño. Con conglomerados o estratos, la fórmula simple subestima el error.
• Comparar dos proporciones restando sus intervalos. Para eso está el intervalo de la diferencia, que no es lo mismo.

9 · En el software

# R
p <- mean(datos$variable == "sí")
n <- length(datos$variable)
ee <- sqrt(p * (1 - p) / n)
p + c(-1.96, 1.96) * ee

# Mejor: métodos que no fallan con proporciones extremas
binom.test(sum(datos$variable == "sí"), n)$conf.int
prop.test(x, n)$conf.int

# Python
from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint
proportion_confint(count=x, nobs=n, method="wilson")

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