Distribución muestral de la proporción

1 · Definición

La distribución muestral de la proporción es la distribución de los valores que tomaría $\hat{p}$ —la proporción observada en la muestra— si se repitiera el muestreo.

2 · Por qué es un caso particular de la media

Codificá la característica de interés como 1 y su ausencia como 0. El promedio de esa columna es exactamente la proporción:

$$\hat{p} = \frac{\text{cantidad de unos}}{n} = \bar{x}$$

Por eso todo lo que vale para la media vale acá: el centro, el error estándar, el teorema central del límite. Lo único que cambia es que la varianza no es un parámetro libre, porque queda determinada por la propia proporción.

3 · Sus propiedades

El centro. $\hat{p}$ es insesgado:

$$\mu_{\hat{p}} = \pi$$

El error estándar. Depende solo de $\pi$ y de $n$:

$$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\pi\,(1-\pi)}{n}}$$

y en la práctica, sin conocer $\pi$, se lo estima con $\hat{p}$.

La forma. Tiende a normal al crecer $n$, por el TCL.

4 · La varianza máxima está en 0,5

El producto $\pi(1-\pi)$ alcanza su máximo en $\pi = 0{,}5$:

$\pi$	$\pi(1-\pi)$	Error estándar con $n = 1000$
0,10	0,090	0,0095
0,30	0,210	0,0145
0,50	0,250	0,0158
0,70	0,210	0,0145
0,90	0,090	0,0095

De ahí sale la convención de usar $p = 0{,}5$ cuando no se tiene información previa para calcular el tamaño de muestra: es el valor que exige más casos, así que garantiza la precisión buscada sea cual sea la proporción real.

5 · Cuándo vale la aproximación normal

La condición habitual es que haya suficientes casos en las dos categorías:

$$n\hat{p} \ge 10 \qquad\text{y}\qquad n(1-\hat{p}) \ge 10$$

Algunos textos usan 5 en lugar de 10; la idea es la misma.

Si no se cumple —proporciones muy chicas o muestras chicas— la distribución muestral queda asimétrica y la aproximación normal falla. Ahí hay que usar métodos exactos basados en la distribución binomial.

6 · El margen de error de las encuestas

De acá sale el número que aparece en toda encuesta de opinión.

Con $\pi = 0{,}5$, confianza del 95 % y $n = 1000$:

$$e = 1{,}96 \sqrt{\frac{0{,}5 \times 0{,}5}{1000}} = 0{,}031$$

o sea ± 3,1 puntos porcentuales. Por eso casi todas las encuestas nacionales informan alrededor de ± 3 puntos: no es casualidad, es que casi todas usan muestras de alrededor de mil casos.

Y explica por qué agrandar la muestra rinde tan poco: para bajar a ± 1,5 puntos haría falta cuadruplicarla.

7 · Errores frecuentes

• Aplicar la fórmula con pocos casos en una categoría. Hay que verificar $n\hat{p} \ge 10$.
• Informar intervalos que se salen de [0, 1]. Señal inequívoca de que la aproximación normal no correspondía.
• Usar el margen de error global para subgrupos. Si la encuesta tiene ± 3 puntos con 1.000 casos, el subgrupo de 150 casos tiene ± 8. Es el error más común al leer encuestas en los medios.
• Olvidar el diseño. Con conglomerados o estratos, la fórmula simple subestima el error.
• Comparar dos proporciones restando sus intervalos. Para eso está el intervalo de la diferencia, que no es lo mismo.

8 · En el software

# R
p <- mean(datos$variable == "sí")
n <- length(datos$variable)
ee <- sqrt(p * (1 - p) / n)
p + c(-1.96, 1.96) * ee

# Mejor: métodos que no fallan con proporciones extremas
binom.test(sum(datos$variable == "sí"), n)$conf.int
prop.test(x, n)$conf.int

# Python
from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint
proportion_confint(count=x, nobs=n, method="wilson")

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