Uso de tablas de distribución

1 · Para qué siguen existiendo

Antes de las computadoras, las tablas eran la única manera de obtener probabilidades de distribuciones continuas. Hoy el software las reemplaza por completo, pero siguen usándose por tres razones: los parciales suelen tomarse con tablas, permiten verificar a mano un resultado sospechoso, y obligan a entender qué área se está calculando —cosa que apretar un botón no obliga—.

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2 · Los dos sentidos de uso

Dirección	Se entra con	Se obtiene	En R
Directo	un valor	una probabilidad	pnorm, pt, pchisq, pf
Inverso	una probabilidad	un valor crítico	qnorm, qt, qchisq, qf

El uso directo responde “¿qué proporción queda por debajo de este valor?”; el inverso, “¿qué valor deja este porcentaje por debajo?”. Los intervalos de confianza usan el inverso; los valores p, el directo.

3 · La tabla normal

Es la única que tabula el cuerpo de la distribución con dos decimales de entrada: la fila da el entero y el primer decimal de $z$, la columna el segundo.

Para $z = 1{,}96$ se cruza la fila 1,9 con la columna 0,06 y se lee 0,9750.

Relaciones que resuelven cualquier variante:

$$P(Z > z) = 1 - P(Z \le z)$$ $$P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)$$

4 · Las tablas de t, chi-cuadrado y F

Las tres están organizadas al revés que la normal: tabulan solo los valores críticos usuales, no toda la distribución.

Tabla	Filas	Columnas	Qué se lee
t	grados de libertad	nivel de cola	valor crítico
chi-cuadrado	grados de libertad	nivel de cola	valor crítico
F	$\nu_2$	$\nu_1$, una tabla por nivel	valor crítico

Por eso con tablas no se obtiene el valor p exacto: se lo acota. Si un $t = 2{,}5$ con 10 grados de libertad queda entre el crítico del 0,025 (2,228) y el del 0,01 (2,764), se reporta $0{,}02 < p < 0{,}05$ bilateral. El valor exacto es 0,0314, y el software lo da en un paso; eso es lo que hoy corresponde informar.

5 · Unilateral y bilateral: la trampa de las columnas

Es el error más frecuente con la tabla t.

Para un intervalo de confianza del 95 % o una prueba bilateral al 5 %, hay que buscar el cuantil 0,975, porque el 5 % se reparte en dos colas de 2,5 % cada una.

Se quiere	Cuantil a buscar
IC 95 %	0,975
Prueba bilateral $\alpha = 0{,}05$	0,975
Prueba unilateral $\alpha = 0{,}05$	0,950
IC 99 %	0,995

Muchas tablas traen dos encabezados —“una cola” y “dos colas”— justamente para evitar esto. Conviene verificar cuál se está leyendo.

6 · Cuando los grados de libertad no están en la tabla

Las tablas t y chi-cuadrado traen una fila por cada valor de 1 a 30, y después saltan: 40, 60, 120, ∞. Con 45 grados de libertad hay tres salidas posibles, y no dan lo mismo. El crítico bilateral del 95 % con $\nu = 45$ vale 2,0141:

Salida	Valor	Diferencia
Fila de abajo (40), la conservadora	2,0211	+0,0070
Interpolar linealmente entre 40 y 60	2,0159	+0,0018
Interpolar en $1/\nu$	2,0141	+0,0000

Y no es un caso afortunado:

$\nu$	Exacto	Fila de abajo	Lineal	En $1/\nu$
35	2,0301	2,0423	2,0317	2,0302
45	2,0141	2,0211	2,0159	2,0141
50	2,0086	2,0211	2,0107	2,0086
90	1,9867	2,0003	1,9901	1,9867
100	1,9840	2,0003	1,9867	1,9840

7 · Por qué las filas saltan a 30, 40, 60, 120 e ∞

Porque a partir de ahí ya casi no cambia nada. El crítico bilateral del 95 %:

$\nu$	$t_{0{,}975}$	Exceso sobre 1,96
1	12,706	+548 %
5	2,571	+31 %
10	2,228	+14 %
20	2,086	+6,4 %
30	2,042	+4,2 %
60	2,0003	+2,1 %
120	1,980	+1,0 %
∞	1,960	—

Eso también explica por qué el famoso ”$n$ mayor que 30” no es una frontera real. A los 30 grados de libertad el crítico todavía está un 4,2 % por encima del de la normal: la diferencia no desaparece, simplemente deja de importar frente a las otras fuentes de error del estudio.

8 · La tabla F trae una sola cola

Las tablas de F tabulan únicamente la cola derecha, porque es la que usa el ANOVA. Para la cola izquierda —que hace falta, por ejemplo, en un intervalo de confianza para el cociente de dos varianzas— hay una identidad:

$$F_{\alpha}(\nu_1, \nu_2) = \frac{1}{F_{1-\alpha}(\nu_2, \nu_1)}$$

Con $\nu_1 = 3$ y $\nu_2 = 20$, el crítico superior al 5 % es 3,0984. El inferior sale de dar vuelta los grados de libertad: $1 / F_{0{,}95}(20,\, 3) = 1/8{,}6602 = 0{,}1155$, que es exactamente $F_{0{,}05}(3,\, 20)$.

9 · El equivalente en software

Necesidad	R	Python	Excel
Área a izquierda, normal	pnorm(z)	norm.cdf(z)	=DISTR.NORM.ESTAND.N(z;1)
Valor crítico normal	qnorm(0.975)	norm.ppf(.975)	=INV.NORM.ESTAND(0,975)
Valor crítico t	qt(0.975, gl)	t.ppf(.975, gl)	=INV.T.2C(0,05; gl)
Valor p bilateral t	2*pt(-abs(t), gl)	2*t.sf(abs(t), gl)	=DISTR.T.2C(t; gl)
Valor crítico $\chi^2$	qchisq(0.95, gl)	chi2.ppf(.95, gl)	=INV.CHICUAD.CD(0,05; gl)
Valor crítico F	qf(0.95, g1, g2)	f.ppf(.95, g1, g2)	=INV.F.CD(0,05; g1; g2)

10 · Errores frecuentes

• No mirar qué área tabula la tabla. Causa número uno.
• Usar la columna de una cola cuando la prueba es bilateral.
• Confundir la fila y la columna en la tabla normal.
• Invertir mal la tabla F. Para la cola izquierda hay que dar vuelta también los grados de libertad, no solo el valor.
• Buscar el valor p exacto en una tabla. Solo se lo puede acotar.
• Reportar "$p < 0{,}05$" pudiendo dar el valor exacto. Si se usó software, corresponde informar el valor p con tres decimales.
• Redondear hacia arriba los grados de libertad que no están. Si hay 45 y la tabla trae 40 y 60, se usa 40: menos grados de libertad dan un crítico más grande, o sea la respuesta prudente. Ir a 60 achica el intervalo y sube la tasa real de error de tipo I.

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