La lógica de una prueba de hipótesis

1 · El problema que resuelve

Una muestra da un resultado —los varones ganan $291.750 más que las mujeres— y hay que decidir entre dos explicaciones:

1. En la población realmente existe una diferencia.
2. En la población no existe una diferencia real, y lo observado es solo variabilidad de muestreo: la diferencia se debe a qué personas tocaron por azar en la muestra. Otra muestra de la misma población daría otra diferencia, quizás más chica, quizás nula o hasta del signo contrario.

Siempre hay diferencia entre dos muestras, aunque provengan de poblaciones idénticas. La pregunta no es si hay diferencia, sino si esa diferencia es más grande de la que el azar produciría.

2 · La lógica, en cuatro pasos

Estos son los pasos que sigue toda prueba de hipótesis, sea cual sea el parámetro que se estudia. Las pruebas del módulo —la t, la de proporciones, la chi-cuadrado— cambian la fórmula del cálculo, pero todas razonan de esta misma manera:

Paso 1. Se supone que no pasa nada. Se parte de la hipótesis nula: no hay diferencia, no hay efecto, no hay asociación.

Paso 2. Se calcula qué tan raro sería el resultado observado bajo ese supuesto. Para eso se usa la distribución muestral: se sabe cómo se comportan los resultados posibles si la nula fuera cierta.

Paso 3. Si el resultado es muy improbable bajo la nula, se la rechaza. “Muy improbable” se define de antemano con el nivel de significación.

Paso 4. Si no es improbable, no se la rechaza. Que no es lo mismo que aceptarla.

3 · Por qué se supone lo contrario de lo que se quiere probar

Es la parte que más resistencia genera, y tiene una razón lógica precisa.

La asimetría es deliberada: se puede refutar una afirmación general con un caso, pero no probarla con ninguna cantidad de casos. “Todos los cisnes son blancos” no se demuestra viendo cisnes blancos; se refuta con un cisne negro.

La hipótesis nula ocupa el lugar del enunciado refutable: es específica —“la diferencia es exactamente cero”— y por eso permite calcular probabilidades. La alternativa —“hay alguna diferencia”— no las permite, porque no dice cuánta.

4 · Un ejemplo que muestra las dos salidas

Con los mismos datos de la EPH, dos preguntas y dos resultados opuestos:

Pregunta	Resultado	Decisión
¿La media difiere de $1.000.000?	media $990.201, $t = -1{,}21$, $p = 0{,}225$	No se rechaza
¿Difieren los ingresos por sexo?	diferencia $291.750, $t = 18{,}76$, $p < 0{,}001$	Sí se rechaza

En el primer caso, con 15.448 casos, la diferencia de $9.799 respecto del valor hipotético es perfectamente compatible con el azar. En el segundo, una diferencia de $291.750 no lo es.

5 · Lo que una prueba no hace

Conviene fijarlo desde el principio, porque casi todos los errores de interpretación del módulo salen de acá:

• No prueba que la hipótesis nula sea cierta. No rechazar es no haber encontrado evidencia suficiente, que no es lo mismo que haber encontrado evidencia de que no hay efecto.
• No dice cuán grande es el efecto. Para eso está el tamaño del efecto y el intervalo de confianza.
• No dice si el resultado importa. Ver significación y relevancia.
• No corrige un mal diseño. Si la muestra está sesgada o las observaciones no son independientes, la prueba da un número igual y no significa nada.
• No establece causalidad. Eso lo decide el diseño del estudio.

6 · Su relación con el intervalo de confianza

Son dos caras de lo mismo. Una prueba bilateral al 5 % rechaza la nula exactamente cuando el intervalo de confianza del 95 % no contiene el valor hipotético.

En el ejemplo, el IC del 95 % para la media es $974.370 a $1.006.032, que contiene a $1.000.000: por eso la prueba no rechaza. Son el mismo cálculo leído de dos maneras.

Con una salvedad, que casi nunca se dice

Esa equivalencia es exacta cuando los dos usan el mismo error estándar, que es el caso de la media. Con proporciones no siempre pasa: la prueba calcula el error estándar bajo la hipótesis nula, con $p_0$, y el intervalo lo calcula con el dato observado, $\hat{p}$. Cuando los dos están lejos, pueden contradecirse.

Un caso concreto: 11 casos de 100, contrastando contra $p_0 = 0{,}05$.

	Resultado
IC del 95 % de Wald	0,0487 a 0,1713 — contiene a 0,05
Prueba de score	$z = 2{,}75$, $p = 0{,}006$ — rechaza

7 · Errores frecuentes

• Creer que se prueba la hipótesis alternativa. Solo se descarta la nula.
• Aceptar la nula. El resultado posible es “no rechazar”, nunca “aceptar”.
• Plantear la hipótesis después de ver los datos. Invalida la probabilidad calculada.
• Probar muchas cosas hasta que una dé significativa. Ver p-hacking.
• Confundir significación estadística con relevancia.
• Usar una prueba cuando la pregunta es descriptiva. Si se tiene toda la población, no hay nada que inferir.
• Dar por universal la equivalencia entre prueba e intervalo. Vale cuando los dos usan el mismo error estándar; con proporciones y Wald pueden contradecirse.

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