Teorema central del límite

1 · Definición

El teorema central del límite establece que, al aumentar el tamaño de muestra, la distribución muestral de la media se aproxima a una distribución normal, cualquiera sea la forma de la población de origen.

$$\bar{x} \;\xrightarrow{\;n \to \infty\;}\; N\!\left(\mu, \; \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

2 · Por qué importa tanto

Porque permite usar la distribución normal para hacer inferencia sin suponer que los datos son normales.

El ingreso no es normal. La cantidad de hijos no es normal. El tiempo de espera no es normal. Y sin embargo se pueden construir intervalos de confianza para sus medias usando la normal, porque lo que tiene que ser normal no son los datos: es la distribución de la media.

Todo lo que viene después —intervalos de confianza, pruebas t, pruebas z, regresión— descansa sobre este teorema.

3 · Verlo funcionar con datos reales

La distribución del ingreso de la ocupación principal de la EPH tiene una asimetría de 5,46: está lo más lejos de una normal que se puede pedir. Es el caso más exigente posible para el teorema.

Simulando 20.000 muestras de cada tamaño a partir de esa población:

	Asimetría	Desvío de las medias
Población	5,46	$1.063.114
Medias de $n = 2$	3,10	$747.790
Medias de $n = 10$	1,82	$338.734
Medias de $n = 50$	0,77	$149.843

La asimetría se derrumba de 5,46 a 0,77 con apenas 50 casos por muestra. Y la distribución se angosta siguiendo exactamente $\sigma/\sqrt{n}$.

4 · La regla del 30, y por qué es mentira

Todos los manuales dicen que con $n > 30$ la aproximación es buena. Es una regla práctica útil y no es una ley.

Cuánto $n$ hace falta depende de dos cosas: cuán asimétrica es la población y qué se va a hacer con la media. Midiendo el $n$ a partir del cual el procedimiento se comporta como promete:

Población	Asimetría	Para un IC del 95 % que cubra 94 %	Para una prueba unilateral que no pase de 6 %
Normal	0,00	5	5
Uniforme	0,00	10	5
Lognormal $\sigma = 0{,}5$	1,75	80	500
Exponencial	2,00	120	800
Lognormal $\sigma = 1$	6,18	800	5.120

5 · Qué dice y qué no dice

Dice que la distribución de la media muestral tiende a normal.

No dice que los datos se vuelvan normales. La población sigue siendo tan asimétrica como era; lo que cambia es la distribución del promedio.

No dice que una muestra grande “se normalice”. Si tomás una muestra de 5.000 ingresos, el histograma de esos 5.000 va a seguir teniendo cola larga. Lo que se vuelve normal es la distribución de las medias de muchas muestras.

No dice nada sobre la mediana, el máximo ni la varianza: hay resultados análogos para otros estadísticos, pero el TCL clásico es sobre sumas y promedios.

6 · Las condiciones

• Muestreo aleatorio e independiente. Sin esto no vale nada.
• Varianza poblacional finita. Se cumple en cualquier variable real.
• $n$ suficientemente grande, y cuánto depende de la asimetría.

7 · Errores frecuentes

• Creer que normaliza los datos. Es el malentendido central. Aplicar una prueba t a datos muy asimétricos “porque el TCL lo permite” sin verificar el $n$ es un error.
• Aplicar la regla de 30 sin mirar la forma. Con una exponencial ya hacen falta 120 casos para el intervalo y 800 para una prueba unilateral.
• Usar el mismo $n$ para un intervalo y para una prueba de una cola. La prueba unilateral exige entre seis y siete veces más casos.
• Usarlo con muestreo no aleatorio. El teorema supone independencia.
• Confundirlo con la ley de los grandes números. La ley dice que la media converge a $\mu$; el TCL dice qué forma tiene la distribución de esas medias alrededor de $\mu$. Son cosas distintas.
• Creer que hace innecesario mirar la distribución. Justamente hay que mirarla para saber si $n$ alcanza.
• Aplicarlo a la mediana o al máximo. El TCL clásico es sobre promedios.

8 · Verlo uno mismo

# R — cómo cambia la forma al crecer n
set.seed(1976)
par(mfrow = c(2, 2))
hist(x, breaks = 60, main = "Población")
for (n in c(2, 10, 50)) {
  medias <- replicate(20000, mean(sample(x, n, replace = TRUE)))
  hist(medias, breaks = 60, main = paste("n =", n))
}

# Python
rng = np.random.default_rng(1976)
for n in (2, 10, 50):
    medias = rng.choice(x, size=(20000, n)).mean(axis=1)
    print(n, medias.std(ddof=1), stats.skew(medias))

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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