Teorema central del límite

Lo que el teorema dice, y lo que no

Dice que la distribución de las medias muestrales se acerca a una normal a medida que crece el tamaño de muestra, sea cual sea la forma de la población de origen. Eso es lo que hace posible casi toda la inferencia clásica: los intervalos de confianza y las pruebas t se apoyan en esto, no en que los datos sean normales.

No dice que los datos se vuelvan normales. La población de arriba sigue igual de asimétrica con n = 100 que con n = 1: lo que cambia es la distribución de un estadístico calculado sobre ella. Confundir las dos cosas es el error más común del tema, y lleva a revisar la normalidad de la variable cuando lo que importa es otra cosa.

Las tres promesas, por separado

El centro. La media de las medias coincide con μ desde el primer momento, incluso con n = 1. Eso no es el TCL sino la insesgadez de la media muestral, y vale siempre.

La dispersión. El desvío de las medias es σ/√n. Fijate en el panel de números: la columna "cuánto se angostó" sigue de cerca a √n. Con n = 100 las medias son diez veces menos dispersas que los datos, no cien. Esa raíz es la que hace que duplicar la precisión cueste cuadruplicar la muestra.

La forma. Es lo único que necesita un n grande, y lo único que el TCL agrega. Mirá la asimetría: la población tiene 3,5 y las medias de a 30 bajan a alrededor de 0,6. Todavía no es cero, pero ya es bastante simétrica.

El "n mayor a 30" es una regla de bolsillo

No hay ningún teorema que diga 30. Lo que hay es una observación práctica: para muchas poblaciones, con treinta casos la aproximación ya es buena. Cuánto tarda en serlo depende de cuán torcida esté la población de origen.

Con esta, que tiene asimetría 3,5, treinta casos no alcanzan del todo: las medias todavía conservan asimetría visible, y eso tiene una consecuencia medible —el intervalo de confianza del 95 % construido con n = 30 sobre esta población cubre el 90 %, no el 95 %—. Está calculado en el simulador de cobertura.

Con una población simétrica, en cambio, cinco o diez casos suelen bastar. La regla de 30 es un punto medio razonable para no tener que pensarlo cada vez, no una frontera.

Por qué esto no se ve con una normal

Muchos simuladores del TCL sortean de una distribución normal. Es cómodo y no demuestra nada: si la población ya es normal, las medias son exactamente normales para cualquier n, y no hay ningún límite que observar.

Por eso acá la población son ingresos de la EPH, con su cola larga y su pila de valores bajos. Que de eso salga una campana es lo que hace al teorema sorprendente.

Los dientes del primer histograma

Si mirás con atención el histograma de la población, no es una curva suave: tiene picos y valles alternados. No es un error del gráfico ni del muestreo. Es un fenómeno real de las encuestas de ingresos que se llama amontonamiento, y consiste en que la gente declara números redondos.

No es una impresión: en esta población, el 80 % de los ingresos declarados son múltiplos de $100.000, y el 8,7 % declara exactamente $1.000.000. Entre 5.000 casos hay apenas 217 valores distintos.

Los valores terminados en cero acumulan casos que estarían repartidos alrededor, y eso deja el histograma dentado. Es una de las razones por las que conviene mirar siempre la distribución de una variable antes de analizarla: cuenta cosas sobre cómo se midió, no solo sobre lo que se midió. Acá dice que el ingreso no se releva con precisión de peso, sino que la gente redondea al contestar.

Y fijate que en el histograma de las medias los dientes desaparecen. Promediar suaviza: la suma de treinta valores redondeados ya no cae en un número redondo.