Estimación puntual

1 · Definición

Un estimador es una regla de cálculo que usa los datos de la muestra para aproximar un parámetro de la población. La estimación puntual es el valor concreto que produce esa regla.

2 · La notación

Parámetro	Estimador habitual
$\mu$	$\bar{x}$
$\sigma$	$s$
$\pi$	$\hat{p}$
$\rho$	$r$

El sombrerito —$\hat{p}$, $\hat{\mu}$— se lee “estimado” y marca que el valor viene de la muestra, no de la población. Ver parámetro y estadístico.

3 · Por qué nunca va solo

Una estimación puntual es un número sin incertidumbre declarada, y eso la vuelve incompleta.

Decir “el ingreso medio es $990.201” oculta que ese valor cambiaría si se hubiera sorteado otra muestra. El error estándar cuantifica cuánto cambiaría, y el intervalo de confianza lo expresa en la escala de la variable.

4 · Un ejemplo

Con los 15.448 ocupados de la EPH que declararon ingreso de la ocupación principal, y calculando sin ponderadores para que la cuenta se pueda reproducir:

	Valor
Estimación puntual $\bar{x}$	$990.201
Error estándar	$8.076
Intervalo de confianza del 95 %	$974.370 – $1.006.032

El primer número es la estimación. Los otros dos dicen cuánto vale.

5 · Puede haber más de uno

Para un mismo parámetro suele haber varios estimadores posibles. Para el centro de una distribución, por ejemplo: la media, la mediana, la media recortada, el punto medio del rango.

Todos son estimadores válidos y no son igual de buenos. Cuál conviene depende de la forma de la distribución y de qué propiedades se prioricen — eso se trata en propiedades de los estimadores.

Cuál gana, medido

Los cuatro estimadores del centro sobre tres poblaciones simétricas —simétricas para que los cuatro apunten al mismo valor y la comparación sea limpia—, con $n = 50$ y 40.000 muestras. La tabla muestra el error estándar de cada uno dividido por el de la media: más de 1 es peor que la media, menos de 1 es mejor.

Población	Media	Mediana	Recortada al 25 %	Punto medio del rango
Normal	1,000	1,235	1,086	2,340
t de 3 gl (colas pesadas)	1,000	0,784	0,719	10,445
Uniforme (colas cortas)	1,000	1,681	1,381	0,341

Con datos asimétricos como el ingreso, la comparación existe pero hay que leerla con cuidado, porque los estimadores ya no apuntan al mismo valor: la media del ingreso es 1.104.227 y la mediana 900.000. Ahí la pregunta deja de ser cuál estima mejor y pasa a ser qué se quiere describir. Ver cómo elegir la medida de posición.

6 · Estimación puntual y por intervalo

	Puntual	Por intervalo
Qué da	Un número	Un rango
Incertidumbre	No la expresa	La expresa
Probabilidad de acertar el valor exacto	Prácticamente cero	—
Se informa	Siempre, junto con la otra	Siempre

La probabilidad de que $\bar{x}$ sea exactamente igual a $\mu$ es cero para una variable continua. Eso no vuelve inútil la estimación puntual: es el mejor valor único disponible. Pero explica por qué no puede ir sola.

7 · Errores frecuentes

• Informar la estimación sin su precisión. El error más común.
• Confundir estimador con estimación. Uno es la regla, otro el resultado.
• Presentar la estimación como el valor verdadero. “El ingreso medio es X” en lugar de “se estima en X”.
• Usar notación griega para una estimación. Si salió de la muestra, va $\bar{x}$ y no $\mu$.
• Creer que un $n$ grande vuelve exacta la estimación. La hace más precisa; no elimina la incertidumbre ni corrige el sesgo.
• Usar la media por defecto sin mirar las colas. Con una población de colas pesadas, la mediana y la media recortada le ganan por un 25 %.
• Ignorar los ponderadores. Se estima bien la muestra y mal la población.

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