Ley de los grandes números

1 · Definición

La ley de los grandes números establece que, al aumentar el tamaño de muestra, la media muestral converge a la media poblacional.

$$\bar{x}_n \;\xrightarrow{\;n \to \infty\;}\; \mu$$

2 · Qué justifica

Es el fundamento de dos cosas que se usan todo el tiempo sin pensarlas.

La estimación. Si la media muestral no convergiera a $\mu$, no tendría sentido usarla para estimarla.

La definición frecuentista de probabilidad. Decir que la probabilidad de un evento es la proporción de veces que ocurre “a la larga” solo tiene sentido porque esa proporción converge. Es la ley la que convierte esa idea en un concepto utilizable.

También es lo que hace viable el negocio de los seguros y el de los casinos: no saben qué va a pasar en un caso, pero saben con mucha precisión qué va a pasar en un millón.

3 · La diferencia con el TCL

Se confunden porque los dos hablan de qué pasa al crecer $n$, y dicen cosas distintas:

	Ley de los grandes números	Teorema central del límite
Dice	Adónde va la media	Qué forma tiene su distribución
Resultado	$\bar{x} \to \mu$	$\bar{x} \sim N(\mu, \sigma/\sqrt{n})$
Sirve para	Justificar la estimación	Construir intervalos y pruebas

La ley dice que las medias se apiñan alrededor de $\mu$. El TCL dice cómo se apiñan —en forma de campana— y cuánto —con desvío $\sigma/\sqrt{n}$—.

4 · Un ejemplo

Con la distribución del ingreso de la EPH, simulando muestras de tamaño creciente:

$n$	Desvío de las medias
2	$747.790
10	$338.734
50	$149.843

Las medias se concentran cada vez más alrededor de $1.104.227. Ese estrechamiento es la ley de los grandes números, y su velocidad —proporcional a $1/\sqrt{n}$— la da el error estándar.

“Grande” no es un número

La ley no dice cuántos casos hacen falta, porque eso depende de cuán dispersa sea la variable. Con el coeficiente de variación se calcula:

$$n = \left(\frac{1{,}96 \cdot CV}{\text{tolerancia}}\right)^{2}$$

Variable	$CV$	Para quedar a ± 5 %	A ± 1 %
Estatura de adultos	0,07	8	189
Edad	0,50	385	9.604
Ingreso de la EPH	0,963	1.425	35.625
Una variable muy dispersa	2,00	6.147	153.659

5 · La falacia del jugador

El nombre de la ley alimenta un malentendido muy extendido.

Si salió cara diez veces seguidas, mucha gente cree que “por la ley de los grandes números” ahora es más probable que salga ceca, para compensar.

Es falso. La moneda no tiene memoria: la probabilidad sigue siendo 1/2. La ley no dice que los desequilibrios se corrijan; dice que se diluyen.

Con 10 tiros y 10 caras, la proporción es 1. Con 1.000.000 de tiros más, esas 10 caras de más pesan nada: la proporción se acerca a 0,5 aunque el desequilibrio absoluto nunca se “devuelva”.

Simulando tiradas de una moneda equilibrada, las dos cosas a la vez:

Tiros	Diferencia media entre caras y cecas	Cuánto se aparta la proporción de 0,5
10	2,5	0,247
100	7,9	0,079
1.000	25,3	0,025
10.000	79,7	0,008
100.000	251,7	0,003
1.000.000	796,4	0,0008

6 · Errores frecuentes

• La falacia del jugador. “Tiene que salir para compensar.”
• Confundirla con el TCL. La ley dice adónde va; el TCL, con qué forma.
• Creer que garantiza que una muestra grande sea buena. La ley supone muestreo aleatorio. Una muestra sesgada converge, pero al valor equivocado.
• Aplicarla a un caso individual. Dice qué pasa con el promedio de muchos, no con el próximo caso.
• Creer que “grande” tiene un número. La velocidad de convergencia depende de la variabilidad de la población: para un error del 5 %, ocho casos con la estatura y 1.425 con el ingreso.
• Esperar que los desequilibrios se compensen. Se diluyen, que es otra cosa: con un millón de tiros la diferencia absoluta entre caras y cecas es de unas 800, mucho mayor que al principio.

7 · Verlo funcionar

# R — la media acumulada a medida que se agregan casos
set.seed(1976)
x <- sample(datos$ingreso, 5000, replace = TRUE)
plot(cumsum(x) / seq_along(x), type = "l", log = "x",
     xlab = "n", ylab = "Media acumulada")
abline(h = mean(datos$ingreso), col = "red", lty = 2)

# Python
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(1976)
x = rng.choice(datos["ingreso"], 5000)
media_acum = np.cumsum(x) / np.arange(1, len(x) + 1)

El gráfico que produce ese código es la mejor manera de entender la ley: la línea salta mucho al principio y se va aquietando alrededor del valor verdadero.

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