Qué es un intervalo de confianza

1 · Definición

Un intervalo de confianza es un rango de valores, calculado a partir de la muestra, construido con un procedimiento que captura al parámetro verdadero en un porcentaje conocido de los casos.

2 · Cómo se construye

Todos los intervalos de confianza tienen la misma estructura:

$$\text{estimación} \;\pm\; \text{valor crítico} \times \text{error estándar}$$

Las tres piezas:

La estimación puntual, que da el centro del intervalo.

El error estándar, que mide cuánto varía esa estimación de muestra en muestra.

El valor crítico, que depende del nivel de confianza elegido y de la distribución que corresponda. Para el 95 % con distribución normal es 1,96.

Al producto de los dos últimos se lo llama margen de error.

3 · Por qué funciona

Porque se conoce la distribución muestral del estimador, aunque nunca se la observe.

Si $\bar{x}$ se distribuye aproximadamente normal alrededor de $\mu$ con desvío $\sigma/\sqrt{n}$ —cosa que garantiza el TCL—, entonces el 95 % de las medias muestrales caen a menos de $1{,}96$ errores estándar de $\mu$.

Dando vuelta esa afirmación: si se construye un intervalo de $\pm 1{,}96$ errores estándar alrededor de cada media muestral, el 95 % de esos intervalos va a contener a $\mu$.

4 · Un ejemplo

Con los 15.448 ocupados de la EPH que declararon ingreso, sin ponderadores para que la cuenta se pueda reproducir:

	Valor
Media	$990.201
Desvío estándar	$1.003.821
Error estándar	$8.076
Valor crítico (95 %)	1,960
Margen de error	$15.831
IC 95 %	$974.370 – $1.006.032

Se informa así:

El ingreso medio de la ocupación principal se estimó en $990.201 (IC 95 %: $974.370 – $1.006.032; n = 15.448).

5 · De qué depende el ancho

Tres cosas, y solo una está bajo control:

Factor	Efecto	¿Se puede cambiar?
Variabilidad de los datos ($s$)	Más dispersión, más ancho	No: es de la población
Tamaño de muestra ($n$)	Más casos, más angosto	Sí
Nivel de confianza	Más confianza, más ancho	Sí, pero hay un precio

El ancho se achica con $\sqrt{n}$: para reducirlo a la mitad hay que cuadruplicar la muestra. Es la misma ley que gobierna el error estándar.

6 · Por qué es mejor que un p-valor

Es la razón por la que las revistas científicas lo exigen cada vez más:

Está en las unidades del problema. “La diferencia es de $291.750” se entiende; “p = 0,001” no dice de cuánto es la diferencia.

Muestra la precisión. Un intervalo angosto indica una estimación precisa; uno ancho, que los datos son compatibles con muchas cosas.

Contiene la información del p-valor. Si el intervalo de una diferencia no incluye el cero, la diferencia es significativa al nivel correspondiente. El intervalo dice eso y además cuánta es la diferencia.

Informa cuando no hay significación. Un resultado no significativo con un intervalo angosto alrededor de cero dice “el efecto, si existe, es chico”. Uno con un intervalo enorme dice “no sabemos nada”. El p-valor no distingue esos dos casos, y son completamente distintos.

7 · Errores frecuentes

• Interpretarlo como probabilidad sobre el parámetro. “Hay 95 % de probabilidad de que $\mu$ esté acá” es incorrecto, y merece su propia entrada: ver interpretación correcta.
• Confundir el nivel de confianza con la precisión. Un intervalo del 99 % no es “mejor”: es más ancho.
• Usar 1,96 siempre. Con $\sigma$ desconocida y muestra chica corresponde la distribución t.
• Calcularlo con muestreo no probabilístico. El número sale y no significa nada.
• Olvidar el diseño. Con estratos o conglomerados, el error estándar simple subestima, y el intervalo queda demasiado angosto.
• Informar límites imposibles. Un IC de una proporción que baja de cero es señal de que la aproximación normal no correspondía.
• Comparar dos intervalos por superposición. Que dos intervalos se solapen no prueba que no haya diferencia: para eso va el intervalo de la diferencia.

8 · En el software

# R — para la media
t.test(datos$ingreso)$conf.int

# Para una proporción
prop.test(x, n)$conf.int

# Con diseño complejo
library(survey)
confint(svymean(~ingreso, dis))

# Python
from scipy import stats
stats.t.interval(0.95, len(x)-1, loc=x.mean(), scale=stats.sem(x))

from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint
proportion_confint(k, n, method="wilson")

Excel:    =INTERVALO.CONFIANZA.T(0,05; desvío; n)   devuelve el margen
SPSS:     Analizar › Comparar medias › Prueba T para una muestra
          (el IC viene en la salida)
InfoStat: Estadísticas › Inferencia basada en una muestra

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