Prueba de los signos

1 · La idea

La prueba más simple de la Estadística: solo mira el signo de cada diferencia.

Si el tratamiento no tuviera efecto, cada par tendría la misma probabilidad de mejorar que de empeorar. Entonces la cantidad de diferencias positivas sigue una binomial con $p = 0{,}5$:

$$H_0: p = 0{,}5 \qquad X \sim B(n, 0{,}5)$$

2 · El procedimiento

1. Calcular la diferencia de cada par.
2. Anotar solo el signo.
3. Descartar los empates —diferencias iguales a cero—, lo que reduce el $n$.
4. Contar los positivos.
5. Calcular la probabilidad binomial de un resultado así de extremo.

3 · Un ejemplo

En 12 pares, 9 mejoraron, 2 empeoraron y 1 quedó igual.

Se descarta el empate: $n = 11$, con 9 positivos.

$$p = 2 \times P(X \ge 9) \text{ con } X \sim B(11;\, 0{,}5) = 0{,}0654$$

No alcanza el 5 %, a pesar de que 9 de 11 mejoraron. Es la muestra de su poca potencia: descartar la magnitud cuesta caro.

4 · Cuándo conviene igual

Su falta de potencia se compensa con la ausencia total de supuestos:

Diferencias muy asimétricas. Wilcoxon exige simetría; los signos, no. Y eso no es un detalle formal. Con diferencias cuya mediana es exactamente cero pero asimétricas, contrastando $H_0: \text{Me} = 0$:

Diferencias, todas con mediana 0	Signos	Wilcoxon	t pareada
Normal (simétrica)	0,043	0,050	0,050
Exponencial desplazada	0,043	0,103	0,175
Lognormal desplazada	0,042	0,109	0,181
Lognormal más asimétrica	0,041	0,154	0,218

Solo se conoce la dirección. Si los evaluadores dicen “mejoró” o “empeoró” sin cuantificar, es lo único aplicable.

Escalas ordinales con pocas categorías.

Atípicos extremos, que no la afectan en absoluto.

Como prueba sobre una mediana: contrastar $H_0: \text{Me} = m_0$ se hace contando cuántos valores superan a $m_0$.

5 · Su lugar en la escala de supuestos

Prueba	Usa	Supone	Contrasta
Signos	la dirección	casi nada	la mediana
Wilcoxon	dirección y rango	simetría de las diferencias	la pseudomediana
t pareada	los valores	normalidad de las diferencias	la media

La potencia, medida

Veinte pares, 20.000 réplicas por celda:

Diferencias	Signos	Wilcoxon	t pareada
Normal	0,379	0,536	0,561
t de 3 gl	0,323	0,379	0,317
Cauchy (colas brutales)	0,240	0,213	0,070
Lognormal (asimétrica)	0,216	0,580	0,653

6 · Errores frecuentes

• No descartar los empates, o descartarlos y seguir usando el $n$ original.
• Usarla cuando Wilcoxon o la t son aplicables, perdiendo potencia sin motivo.
• Descartarla por “poco potente” con colas pesadas. Contra una Cauchy le gana a la t pareada por más del triple.
• Usar Wilcoxon para contrastar una mediana con diferencias asimétricas. Contrasta la pseudomediana, y rechaza hasta el 15 % cuando la mediana es cero.
• Concluir que no hay efecto por un resultado no significativo: con esta prueba, la potencia es baja casi siempre.
• Aplicarla a grupos independientes. Es para datos apareados.
• Olvidar que se pierde toda la información de magnitud.

7 · En el software

# R — no hay función propia: es una binomial
positivos <- sum(despues > antes)
n <- sum(despues != antes)          # descartando empates
binom.test(positivos, n, p = 0.5)

# O con paquete
BSDA::SIGN.test(antes, despues)

# Python
from scipy import stats
import numpy as np
d = despues - antes
n = np.sum(d != 0)
stats.binomtest(int(np.sum(d > 0)), n, 0.5)

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