Distribución hipergeométrica

1 · Definición

La distribución hipergeométrica da la probabilidad de obtener $k$ éxitos al extraer $n$ unidades sin reposición de una población finita de tamaño $N$ que contiene $K$ éxitos:

$$P(X = k) = \frac{\dbinom{K}{k} \dbinom{N-K}{\,n-k\,}}{\dbinom{N}{n}}$$

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2 · Cómo se lee la fórmula

Las tres piezas son combinatorios y cuentan casos favorables sobre posibles:

• $\binom{K}{k}$: de cuántas formas se eligen $k$ éxitos entre los $K$ que hay.
• $\binom{N-K}{n-k}$: de cuántas formas se eligen los fracasos restantes.
• $\binom{N}{n}$: todas las muestras posibles de tamaño $n$.

Es probabilidad clásica pura: favorables sobre posibles.

3 · Media y varianza

$$E(X) = n \frac{K}{N} \qquad \text{Var}(X) = n \frac{K}{N}\left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}$$

La esperanza es idéntica a la de la binomial con $p = K/N$. Lo que cambia es la varianza: aparece multiplicada por

$$\frac{N-n}{N-1}$$

que es exactamente el cuadrado del factor de corrección por población finita.

4 · Cuándo importa la diferencia

Cuando $n$ es una parte grande de $N$. Si la muestra es chica respecto de la población, las probabilidades casi no cambian entre extracciones y la binomial aproxima bien.

$n/N$	Factor $\frac{N-n}{N-1}$	¿Hace falta la hipergeométrica?
1 %	0,990	No
5 %	0,950	Casi no
20 %	0,800	Sí
50 %	0,500	Sí, con claridad

Es la misma regla del 5 % que aparece en el muestreo: por debajo de esa fracción, la binomial alcanza.

5 · Un ejemplo

Un lote de 50 piezas contiene 8 defectuosas. Se extraen 10 para control, sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 2 defectuosas?

$$P(X = 2) = \frac{\dbinom{8}{2}\dbinom{42}{8}}{\dbinom{50}{10}} = 0{,}3217$$

Con la binomial —usando $p = 8/50 = 0{,}16$— daría 0,2856. Las dos distribuciones completas, lado a lado:

$k$	Hipergeométrica	Binomial
0	0,1432	0,1749
1	0,3473	0,3331
2	0,3217	0,2856
3	0,1471	0,1450
4	0,0357	0,0483
5	0,0046	0,0111

6 · Muestreo de aceptación

La aplicación clásica invierte la pregunta: se fija una regla —por ejemplo, aceptar el lote si en las 10 piezas no aparece ninguna defectuosa— y se calcula qué probabilidad tiene de aceptar un lote según cuán malo sea:

Defectuosas en el lote de 50	P(aceptar)
1	0,800
2	0,637
4	0,397
8	0,143
15	0,018

7 · Dónde aparece

Control de calidad por lotes. Es su aplicación clásica: se inspecciona una parte de un lote finito sin devolver las piezas.

Muestreo de poblaciones chicas. Cualquier muestreo aleatorio simple sin reposición es, estrictamente, hipergeométrico.

Prueba exacta de Fisher. La prueba exacta de Fisher para tablas 2×2 se basa directamente en esta distribución, y por eso funciona con muestras chicas donde el chi-cuadrado falla.

Juegos de azar con cartas o bolillas que no se devuelven.

8 · Errores frecuentes

• Usar la binomial cuando la muestra es una parte grande de la población. Sobreestima la variabilidad.
• Usar la hipergeométrica cuando hay reposición. Ahí corresponde la binomial.
• Confundir $N$ con $n$, o $K$ con $k$. Cuatro parámetros y nombres parecidos: conviene escribirlos antes de calcular.
• Olvidar que $k$ no puede superar ni a $n$ ni a $K$. Si el enunciado pide más éxitos de los que hay en la población, la probabilidad es cero.
• Aplicarla con poblaciones infinitas o muy grandes. No está mal, pero es innecesariamente complicado.

9 · En el software

# R — ojo con el orden de los argumentos
# dhyper(k, éxitos en la población, fracasos, tamaño de muestra)
dhyper(2, m = 8, n = 42, k = 10)     # 0.3217
phyper(2, 8, 42, 10)                 # acumulada

# Comparación con la binomial
dbinom(2, 10, 8/50)                  # 0.2856

# Python
from scipy import stats
stats.hypergeom.pmf(2, M=50, n=8, N=10)

Excel:    =DISTR.HIPERGEOM.N(2; 10; 8; 50; FALSO)

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