Combinaciones

1 · Definición

El número combinatorio cuenta de cuántas maneras se pueden elegir $k$ elementos de un conjunto de $n$, sin que importe el orden:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$

Se lee ”$n$ sobre $k$” o “combinaciones de $n$ tomadas de a $k$”.

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2 · Cuándo corresponde

Cuando el enunciado habla de elegir un grupo, un subconjunto, un comité, una muestra o una mano de cartas, sin asignar roles distintos a sus integrantes.

La prueba práctica: ¿cambia el resultado si se reordenan los elegidos? Si un comité formado por Ana, Beto y Cira es el mismo sin importar en qué orden se los nombre, son combinaciones. Si se trata de presidente, secretario y tesorero, el orden importa y son variaciones.

3 · Ejemplos

Un comité de 3 personas entre 8:

$$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!\,5!} = 56$$

Comparar con el podio de 3 entre 8, que daba 336: exactamente $3! = 6$ veces más, porque cada grupo de tres admite seis órdenes.

Una lotería de 6 números, según cuántas bolillas tenga el bolillero:

Juego	Combinaciones	Probabilidad con un cartón
6 de 40	3.838.380	1 en 3,8 millones
6 de 45	8.145.060	1 en 8,1 millones
6 de 50	15.890.700	1 en 15,9 millones

Una muestra de 10 hogares entre 120 del marco: $\binom{120}{10}$, que son 1,2 × 10¹⁴ muestras distintas posibles, todas con la misma probabilidad de salir si el muestreo es aleatorio simple. Ese es el sentido exacto de “al azar”, y también la razón por la que la selección se hace con un generador y no a mano.

4 · Propiedades que ahorran cuentas

$$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$$

Elegir 3 de 8 para que entren es lo mismo que elegir 5 para que queden afuera. Con $k$ grande conviene usar el complemento: $\binom{50}{48}$ es $\binom{50}{2} = 1.225$.

$$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 \qquad \binom{n}{1} = n$$ $$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$$

Esta última es la regla que construye el triángulo de Pascal: cada número es la suma de los dos de arriba.

$$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^{n}$$

5 · Combinaciones con repetición

Es el quinto caso del cuadro, el que se olvida: elegir $k$ elementos de $n$ sin que importe el orden y pudiendo repetir.

$$\binom{n+k-1}{k}$$

Tres helados de seis gustos, pudiendo pedir dos veces el mismo: $\binom{8}{3} = 56$, contra los $\binom{6}{3} = 20$ que habría si no se pudiera repetir.

6 · Cuántas comparaciones hay

Un uso cotidiano que no parece combinatoria: al comparar $k$ grupos entre sí, la cantidad de pares es $\binom{k}{2}$, y crece mucho más rápido que $k$.

Grupos	Comparaciones	P(algún falso positivo al 5 %)
3	3	hasta 0,15
4	6	hasta 0,30
5	10	hasta 0,50
10	45	hasta 1,00

7 · Por qué aparece en la binomial

En la distribución binomial, la probabilidad de una secuencia concreta con $k$ éxitos es $p^k(1-p)^{n-k}$. Pero hay muchas secuencias distintas con esa misma cantidad de éxitos, y todas tienen la misma probabilidad.

Cuántas son es justamente $\binom{n}{k}$: elegir en qué posiciones caen los éxitos, sin que importe el orden entre ellos. De ahí:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}$$

Lo mismo vale para la hipergeométrica, que es un cociente de tres combinatorios.

8 · Errores frecuentes

• Usar combinaciones cuando el orden importa. Da $k!$ veces de menos.
• Confundir $\binom{n}{k}$ con $\dfrac{n!}{(n-k)!}$. La diferencia es el $k!$.
• Calcular factoriales enteros con $n$ grande. $\binom{50}{2}$ es $50 \times 49 / 2$, no hace falta $50!$.
• Olvidar la simetría y hacer la cuenta larga.
• Interpretar el combinatorio como una probabilidad. Es un conteo: puede valer millones.
• Subestimar cuántas comparaciones implica un diseño con varios grupos.
• Usarlo con reposición. Ahí el conteo es otro.

9 · En el software

# R
choose(8, 3)         # 56
choose(45, 6)        # 8145060
combn(1:5, 2)        # lista todas las combinaciones

# Triángulo de Pascal, fila 5
choose(5, 0:5)       # 1 5 10 10 5 1
sum(choose(5, 0:5))  # 32 = 2^5

# Cuántas comparaciones de a pares con k grupos
choose(5, 2)         # 10

# Python
import math
math.comb(8, 3)      # 56
math.comb(45, 6)     # 8145060

from itertools import combinations
list(combinations("ABCDE", 2))

Excel:    =COMBINAT(8; 3)

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
  title        = {{Combinaciones}},
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