IC para una proporción

1 · La fórmula clásica

$$\hat{p} \;\pm\; z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}$$

Se la conoce como intervalo de Wald, y es la que aparece en todos los manuales.

2 · Las condiciones

La aproximación normal exige suficientes casos en las dos categorías:

$$n\hat{p} \ge 10 \qquad\text{y}\qquad n(1-\hat{p}) \ge 10$$

Algunos textos usan 5. La idea es la misma: si una de las dos categorías tiene muy pocos casos, la distribución muestral queda asimétrica y la normal no la aproxima bien.

3 · Un ejemplo

Con la proporción de ocupados cuyo máximo nivel alcanzado es secundario completo, según la EPH:

	Valor
Casos	6.501 de 19.573
$\hat{p}$	0,332
Error estándar	0,00337
Margen de error (95 %)	0,0066
IC 95 %	32,6 % – 33,9 %

Las condiciones se cumplen con holgura: $n\hat{p} = 6.501$ y $n(1-\hat{p}) = 13.072$.

El 33,2 % de las personas ocupadas alcanzó el nivel secundario completo como máximo nivel educativo (IC 95 %: 32,6 – 33,9; n = 19.573).

4 · Cuándo falla la fórmula clásica

Con proporciones cercanas a 0 o a 1, o con muestras chicas, el intervalo de Wald tiene dos problemas serios:

Devuelve límites imposibles. Con $n = 100$ y $\hat{p} = 0{,}02$:

$$0{,}02 \pm 1{,}96 \sqrt{\frac{0{,}02 \times 0{,}98}{100}} = 0{,}02 \pm 0{,}027$$

o sea de −0,007 a 0,047. Un límite inferior negativo, que es imposible para una proporción.

Cubre menos de lo que promete. Su cobertura real puede caer bastante por debajo del 95 % declarado, incluso con muestras no tan chicas.

5 · El método de Wilson

Es la alternativa recomendada, y es la que usan por defecto las funciones modernas:

$$\frac{\hat{p} + \dfrac{z^2}{2n} \;\pm\; z\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \dfrac{z^2}{4n^2}}}{1 + \dfrac{z^2}{n}}$$

La fórmula es fea y no hace falta calcularla a mano: la traen R, Python y varias calculadoras. La de intervalos de confianza de este sitio la usa por defecto y permite compararla con Wald y con Clopper-Pearson cambiando el método. Lo que importa son sus propiedades:

• Nunca devuelve límites fuera de [0, 1].
• Su cobertura real se acerca mucho más al nivel declarado, incluso con muestras chicas o proporciones extremas.
• Funciona con $\hat{p} = 0$ o $1$, dando un intervalo asimétrico y sensato.

Con muestras grandes y proporciones intermedias, Wald y Wilson dan prácticamente lo mismo. La diferencia aparece exactamente donde importa.

Los tres métodos, lado a lado

Agregando el exacto de Clopper-Pearson, que es el que devuelve binom.test:

$k/n$	Wald	Wilson	Clopper-Pearson
0/50	0,000 a 0,000	0,000 a 0,071	0,000 a 0,071
1/50	0,000 a 0,059	0,004 a 0,105	0,001 a 0,107
2/100	0,000 a 0,047	0,006 a 0,070	0,002 a 0,070
5/100	0,007 a 0,093	0,022 a 0,112	0,016 a 0,113
10/100	0,041 a 0,159	0,055 a 0,174	0,049 a 0,176
50/100	0,402 a 0,598	0,404 a 0,596	0,398 a 0,602

Cuando no se observó ningún caso: la regla del tres

Es la situación donde Wald falla de manera más visible —da un intervalo de ancho cero— y donde hay una regla de bolsillo que conviene saber:

$$\text{límite superior} \;\approx\; \frac{3}{n}$$

$n$	Regla $3/n$	Clopper-Pearson (bilateral)
30	10,0 %	11,6 %
50	6,0 %	7,1 %
100	3,0 %	3,6 %
1.000	0,3 %	0,4 %

6 · Errores frecuentes

• Usar Wald sin verificar las condiciones.
• Informar un intervalo con límites negativos o mayores a 1. Señal inequívoca de que la fórmula no correspondía.
• Concluir que una proporción es cero porque no se observaron casos. Con $n = 50$ y ningún caso, el límite superior sigue siendo del 6 % por la regla del tres, o 7,1 % con el intervalo bilateral exacto.
• Aplicar el margen de error global a subgrupos.
• Comparar dos proporciones por superposición de intervalos. Para eso está el intervalo de la diferencia.
• Ignorar el diseño muestral. Con conglomerados el intervalo real es más ancho.

7 · En el software

# R — Wilson por defecto, y es lo que conviene
prop.test(6501, 19573)$conf.int

# Método exacto (Clopper-Pearson), conservador
binom.test(6501, 19573)$conf.int

# Wald a mano, si hace falta reproducir un manual
p <- 6501 / 19573
p + c(-1, 1) * 1.96 * sqrt(p * (1 - p) / 19573)

# Python
from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint
proportion_confint(6501, 19573, method="wilson")
proportion_confint(6501, 19573, method="normal")   # Wald

Excel:    No tiene función propia: se arma con la fórmula de Wald
SPSS:     Frecuencias no da el IC; se obtiene con Muestras complejas
          o con el procedimiento de proporciones

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  title        = {{IC para una proporción}},
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